小学数学奥数基础教程12讲

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1、小学奥数基础教程第1讲速算与巧算第2讲高斯求和第3讲找规律第4讲最不利原则第5讲归一问题与归总问题第6讲年龄问题第7讲鸡兔同笼问题与假设法第8将乘法原理第9讲加法原理第10讲还原问题第11讲逻辑问题第12讲抽屉原理第1讲速算与巧算计算是数学的基础，小学生要学 好数学，必须具有过硬的计算本领。 准确、快速的计算能力既是一种技巧, 也是一种思维训练，既能提高讣算效 率、节省计算时间,更可以锻炼记忆 力，提髙分析、判断能力，促进思维 和智力的发展。我们在三年级已经讲过一些四则 运算的速算与巧算的方法，本讲和下 一讲主要介绍加法的基准数法和乘法 的补同与同补速算法。例1四年级一班第一小组有10名同 学

2、，某次数学测验的成绩(分数)如 下：86, 78, 77, 83, 91, 74, 92,69, 84, 750求这10名同学的总分。分析与解：通常的做法是将这10个数 直接相加，但这些数杂乱无章，直接 相加既繁且易错。观察这些数不难发 现，这些数虽然大小不等，但相差不 大。我们可以选择一个适当的数作“基 准”,比如以“80”作基准,这10个 数与80的差如下：6, 2, -3, 3, 11, 一6, 12, -11, 1, -5,其中“-”号表示这个数比80 小。于是得到总和=80X10+ (6-2-3+3 + 11-= 800 + 9=809。实际计算时只需口算，将这些数 与80的差逐一累

3、加。为了清楚起见， 将这一过程表示如下：86 H n 81 91 14 n 0 N 15通过口算，得到差数累加为9,再 加上80X10,就可口算出结果为809。例1所用的方法叫做加法的基准 数法。这种方法适用于加数较多，而 冃所有的加数相差不大的情况。作为 “基准”的数(如例1的80)叫做基 准数，各数与基准数的差的和叫做累 计差。由例1得到：总和数二基准数X加数的个数+累计 差.平均数二基准数+累计差三加数的个 数。在使用基准数法时，应选取与各 数的差较小的数作为基准数，这样才 容易讣算累计差。同时考虑到垒准数 与加数个数的乘法能够方便地计算出 來，所以基准数应尽最选取整十、整 百的数。例2

4、某农场有10块麦田，每块的产量 如下(单位：千克)：462, 480, 443, 420, 473, 429, 468, 439, 475, 461。求平均每块麦 田的产量。解：选基准数为450,则累计差=12 + 30-7-304-23-21 + 18-11+25 + 11= 50,平均每块产量二450 + 50 4-10 =455 (千克)答：平均每块麦田的产量为455 千克。求一位数的平方，在乘法口诀的 九九表中己经被同学们熟知，如7X7 =49 (七七四十九)。对于两位数的 平方，大多数同学只是背熟了 10、20 的平方，而2199的平方就不大熟悉 To有没有什么窍门，能够迅速算出 两

5、位数的平方呢？这里向同学们介绍 一种方法一一凑整补零法。所谓凑整 补法，就楚用所求数与故接近的整 十数的差，通过移多补少，将所求数 转化成一个整十数乘以另一数，再加 上零头的平方数。下面通过例题來说 明这一方法。例3求29和82?的值。解：29-29X29=(29 + 1) X (29-1) +1?= 30X284-1=840+1= 841。82J = 82X82=(82-2) X (82 + 2) +22= 80X84+4= 6720+4=6724。由上例看出,因为29比30少1, 所以给29 “补T,这叫“补少”:因 为82比80多2,所以从82中“移走” 2,这叫“移多”。因为是两个相同

6、数 相乘，所以对其中一个数移多补少” 后，还需要在另一个数上“找齐”。 本例中，给一个29补1,就要给另一 个29减1：给一个82减了 2,就要给 另一个82加上2。最后,还要加上“移 多补少”的数的平方。山凑整补零法计算35?,得35 X 35 = 40 X 30+5-1225.这与 三年级学的个位数是5的数的平方的 速算方法结果相同。这种方法不仅适用于求两位数的 平方值，也适用于求三位数或更多位 数的平方值。例4求993,和20042的值。解：993993X993=(993 + 7) X (993-7) +72= 1000X986 + 49=9860004-19=986049。2004-2

7、004X2004=(2001-4) X (2004+4) +42= 2000X2008 + 16= 1016000 + 16= 4016016。下面，我们介绍一类特殊情况的 乘法的速算方法。请看下面的算式：66X46, 73X88, 19X44。这几道算式具有一个共同特点， 两个因数都是两位数，一个因数的十 位数与个位数相同，另一因数的十位 数与个位数之和为10。这类算式有非 常简便的速算方法。例 5 88X64 = ?分析与解：山乘法分配律和结合律， 得到88X61=(80+8) X (60 + 4)=(80+8) X604- (80+8) X4= 80X60+8X60+80X4+8X4=

8、80X60+80X6+80X4+8X4= 80X (60+6+4) +8X4=80X (60 + 10) +8X4=8X (6 + 1) X100+8X4o于是，我们得到下面的速算式：8X4i-=iI88 X 64 = 5632 o11了8X(6+1)宙上式看出，积的末两位数是两 个因数的个位数之积，本例为8X4； 积中从而位起前曲的数是“个位与十 位相同的因数”的十位数与“个位与 十位之和为10的因数”的十位数加1 的乘积，本例为8X (6 + 1)。 例 6 77X91 = ?解：山例3的解法得到7X 1I=I77 X 91 = 7007。Ir 7X(9+1)山上式看出，当两个因数的个位

9、数之积是一位数时，应在十位上补一 个0,本例为7Xl=07o用这种速算袪只需口算就可以方 便地解答出这类两位数的乘法计算。 练习11求下面10个数的总和：165, 152, 168, 171, 148, 156, 169, 161, 157, 149。2. 农业科研小组测定麦苗的生长 情况，最出12株麦苗的髙度分别为(单 位：厘米)：26, 25, 25, 23, 27, 28, 26,24, 29, 27, 27, 25。求这批麦苗的 平均高度。3. 某车间有9个工人加工零件， 他们加工零件的个数分别为：68, 91, 84, 75, 78, 81, 83,72, 79o他们共加工了多少个零

10、件？4. 计算:13 + 16+10+11 + 17 + 12+15 +12 + 16 + 13 + 12。5. 计算下列各题：(1) 372：(2) 532：(3) 912：(4) 682：(5)1083(6) 397，。6 计算下列各题:(1) 77X28；(2) 66X55；(3) 33X19；82X44；(5) 37X33；(6)46X99。练习1答案1. 1596。2. 26厘米。3.711 个。4. 147。5. (1) 1369：(2) 2809；(3)8281；(4) 4624：(5)11664：(6)157609。6. (1) 2156；(2) 3630；(3)627：(4)

11、 3608；(5) 1221；(6)4554。第2讲高斯求和徳国著名数学家高斯幼年时代聪 明过人，上学时，有一天老师出了一 道题让同学们计算：1+2+3 + 4 +99 + 100=?老师出完题后，全班同学都在埋 头计算，小高斯却很快算出答案等于 5050。高斯为什么算得又快又准呢? 原來小高斯通过细心观察发现：14-100 = 2+99 = 3+98 = -=49 + 52=50+51。1-100正好可以分成这样的50 对数，毎对数的和都相等。于是，小 髙斯把这道题巧算为(1+100) X1004-2=5050o小高斯使用的这种求和方法，真 是聪明极了，简单快捷，并且广泛地 适用于“等差数列

12、”的求和问题。若干个数排成一列称为数列，数 列中的每一个数称为一项，其中第一 项称为首项，故后一项称为末项。后 项与前项之差都相等的数列称为等差 数列，后项与前项之差称为公差例 如：(1) 1, 2, 3, 4, 5,，100；(2) 1, 3, 5, 7, 9,，99：(3)8, 15, 22, 29, 36,，71。蝴4 (1)是首项为1，末项为100, 公差为1的等差数列；(2)是首项为 1，末项为99,公差为2的等差数列;(3) 是首项为8,末项为71,公差为 7的等差数列。山高斯的巧算方法，得到等差数 列的求和公式：和=(首项+末项)X项数十2 例 1 1+2+3 + 1999 =

13、?分析与解：这串加数1, 2, 3,，1999 是等差数列,首项是1,末项是1999, 共有1999个数。山等差数列求和公式 可得原式=(1 + 1999) X 19994-2 = 1999000o注意：利用等差数列求和公式之 前，一定要判断题冃中的各个加数是 否构成等差数列。例 2 11+12+13+31 = ?分析与解：这串加数11, 12, 13, 31是等差数列,首项是11,末项是31, 共有 31-11 + 1=21 (项)。原式二(11+31) X 214-2=441 o在利用等差数列求和公式时，有时项 数并不是一目了然的,这时就需要先 求出项数。根据首项、末项、公差的 关系，可以

14、得到项数二(末项-首项)十公差+1， 末项二首项+公差X (项数-1)。例 3 3 + 7 + 11+99 = ?分析与解：3, 7, 11,，99是公差 为4的等差数列，项数二(99一3) 1 + 1=25,原式二(3+99) X254-2 = 1275o 例4求首项是25,公差是3的等差数 列的前40项的和。解：末项=25+3X (40-1) =142, 和二(25 + 112) X402 = 3340p 利用等差数列求和公式及求项数和末 项的公式，可以解决各种与等差数列 求和有关的问题。例5在下图中，毎个最小的等边三角 形的面积是12厘米2,边长是1根火 柴棍。问：(1)最大三角形的面积是 多少平方厘米？(2)整个图形山多少 根火柴棍摆成？分析：最大三角形共有8层，从上往 下摆时，毎层的小三角形数冃及所用 火柴数目如下表：1iih5I11ihJ11Bliii15II11由上表看出，各层的小三角形数成等 差数列，各层的火柴数也成等差数列。 解：(1)最大三角形面积为(1+3+5 + 15) X12=(1 + 15) X84-2 X12= 768 (厘米 2)。2)火柴棍的数H为3+6+9+24=(3+24) X84-2=108 (根)。答：最大三角形的面积是768厘米2, 整个图形山108根火柴摆成。例6盒子里