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1、江苏省盐城东台市唐洋镇九年级数学 第四节 图形的认识复习一、点线面二、角1.角平分线的性质:角平分线上的点到角的两边距离相等,角的内部到两边距离相等的点在角平分线上。三、相交线与平行线1.余角、补角、对顶角(相交)的性质:同角或等角的余角相等;同角或等角的补角相等; 对顶角相等。 2.垂直(1)垂线的性质:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;直线外一点有与直线上各点连结的所有线段中,垂线段最短;(2)线段垂直平分线定义:过线段的中点并且垂直于线段的直线叫做线段的垂直平分线;(3)线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线;
2、3.平行(1)平行线的定义:在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线;(2)平行线的性质 :两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补(3)平行线的判定: 同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行;(4)平行的性质:经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线。四、三角形1.三角形的有关概念。2.三角形的有关性质:三角形的三边关系:三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;三角形的内角和定理:三角形的三个内角的和等于;三角形的外角和定理:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个的和;三角形的三条角平分线交于一点(内心);三角形的三边
3、的垂直平分线交于一点(外心);三角形中位线定理:三角形两边中点的连线平行于第三边,并且等于第三边的一半;3.全等三角形(1)定义:两个能够重合的三角形是全等三角形。(2)性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等。(3)三角形全等的条件:边角边(SAS);角边角(ASA);角角边(AAS);边边边(SSS);斜边、直角边(HL)4.等腰三角形(1)等腰三角形的性质:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角);等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一)(2)等腰三角形的判定:有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边);5.直角三角形(1)直角三角形的性质:直角三角形的两个
4、锐角互为余角;直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理);直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半;(2)直角三角形的判定:有两个角互余的三角形是直角三角形;如果三角形的三边长a、b 、c有下面关系,那么这个三角形是直角三角形(勾股定理的逆定理)。6.三角函数:在RtABC中,C=,SinA=,cosA=, tanA=;sinA=cosB; 0sinA1,0cosA0.A越大,A的正弦和正切值越大,余弦值反而越小.特殊角的三角函数值:度数三角函数SinCostan1五、四边形1.多边形(1)多边形的内角和定理:n边形的内角和等于(n3,n是正整
5、数);(2)多边形的外角和定理:任意多边形的外角和等于。2平行四边形平行四边形是四边形中应用广泛的一种图形,它是研究特殊四边形的基础,是研究线段相等角相等和直线平行的根据之一(1)平行四边形的定义。两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。(2)两条平行线间的距离:两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做两条平行线间的距离两条平行线间的距离是一个定值,不随垂线段位置改变而改变,两条平行线间的距离处处相等(3) 平行四边形的性质:平行四边形的两组对边分别平行;平行四边形的两组对边分别相等;平行四边形的两组对角分别相等;平行四边形的对角线互相平分(4)平行四边形的判定: 两组对边分别
6、平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形3.矩形(1) 定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.(2) 矩形的性质:(除具有平行四边形所有性质外)矩形的四个角都是直角;矩形的对角线相等;(3)矩形的判定:有三个角是直角的四边形是矩形;对角线相等的平行四边形是矩形;4.菱形(1)定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.(2)菱形的性质:(除具有平行四边形所有性质外)菱形的四边相等;菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角;(3)菱形的判定:四边相等的四边形是菱形;对角线互相垂直的平
7、行四边形是菱形.5.正方形(1)定义:有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.(2)正方形的性质:正方形的四边相等;正方形的四个角都是直角;正方形的两条对角线相等,且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角;(3)正方形的判定:有一个角是直角的菱形是正方形;有一组邻边相等的矩形是正方形。6.等腰梯形(1) 等腰梯形的性质:等腰梯形同一底边上的两个内角相等等腰梯形的两条对角线相等。(2)等腰梯形的判定:同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形;*两条对角线相等的梯形是等腰梯形。六、圆1.圆有关的概念: (1)圆:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆,其中,定点为圆心,定长
8、为半径 (2)圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角 (3)圆周角:顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角 (4)弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧 (5)弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径2.圆的有关的性质:(1)圆心角、弦和弧三者之间的关系:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量分别相等;(2)垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧;(3)圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数;(4)圆心角与圆周角的关系: 同圆或等圆中,同弧或等弧
9、所对的圆周角等于它所对的国心角的一半(5)圆内接四边形:顶点都在国上的四边形,叫圆内接四边形圆内接四边形对角互补. (6)圆周角定理:直径所对的圆周角是直角,反过来,的圆周角所对的弦是直径;(7)切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线;(8)切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径;(9)切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,这一点到两切点的线段相等,它与圆心的连线平分两切线的夹角;3三角形的内心和外心 (1)确定圆的条件:不在同一直线上的三个点确定一个圆 (2)三角形的外心:三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分
10、线的交点,叫做三角形的外心 (3)三角形的内心:和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心4.点与圆的位置关系:点在圆外,点在圆上,点在圆内,设圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则点在圆外dr点在圆上d=r点在圆内dr5直线和圆的位置关系有三种:相交、相切、相高 设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则直线与圆相交dr,直线与圆相切d=r,直线与圆相离dr6.圆与圆的位置关系3设两圆的圆心距为d,两圆的半径分别为R和r,则 两圆外离dR+r; 两圆外切d=Rr; 两圆相交RrdR+r(Rr) 两圆内切d=Rr(Rr) 两圆内含dRr(R
11、r)7.圆有关的计算:(1)弧长计算公式:(R为圆的半径,n是弧所对的圆心角的度数,为弧长)(2)扇形面积:或(R为半径,n是扇形所对的圆心角的度数,为扇形的弧长)(3)圆锥: 圆锥的侧面积为S侧2rlrl;全面积为S全r2rl七、尺规作图(基本作图、利用基本图形作三角形和圆)作一条线段等于已知线段,作一个角等于已知角;作已知角的平分线;作线段的垂直平分线;过一点作已知直线的垂线;八、视图与投影1视图:主视图、左视图、俯视图2基本几何体的三视图画法:(1)观察方向:正面、侧面、上面(2)视图特点:长对正,高平齐,宽相等(3)要注意实线与虚线的用法3.平行投影:太阳光线可以看成是平行光线,像这样的光线形成的投影称为平行投影4.中心投影:光线可以看成是从一点发出的,像这样的光线形成的投影称为中心投影