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1、精品资料欢迎下载欧拉方程 刚体运动 莱昂哈德欧拉 用欧拉角 来描述 刚体 在三维欧几里得空间 的取向；对于任何一个参考系，一个刚体的取向， 是依照次序， 从这参考系 ，做三个欧拉角的 旋转 而设定的； 所以， 刚体的取向可以用三个基本旋转矩阵来打算；换句话说， 任何关于刚体旋转的旋转矩阵是由三个基本旋转矩阵 复合 而成的；静态的定义三个欧拉角： ；蓝色的轴是 xyz- 轴，红色的轴是 XYZ- 坐标轴；绿色的线是交点线N；对于在三维空间里的一个参考系，任何坐标系的取向，都可以用三个欧拉角来表现；参考系又称为试验室参考系，是静止不动的；而坐标系就固定于刚体，随着刚体的旋转而旋转；参阅右图；设定
2、xyz-轴为参考系的参考轴；称xy- 平面与 XY- 平面的相交为 交点线 ， 用英文字母（）代表；zxz 顺规 的欧拉角可以静态地这样定义: 是 x- 轴与交点线的夹角， 是 z-轴与 Z- 轴的夹角， 是交点线与 X- 轴的夹角；很惋惜地，对于夹角的次序和标记，夹角的两个轴的指定，并没有任何常规；科学家对此从未达成共识；每当用到欧拉角时，我们必需明确的表示出夹角的次序，指定其参考轴；实际上，有很多方法可以设定两个坐标系的相对取向；欧拉角方法只是其中的一种；此外，不同的作者会用不同组合的欧拉角来描述，或用不同的名字表示同样的欧拉角；因此，使用欧拉角前，必需先做好明确的定义； 编辑 角值范畴值
3、从 0 至 2 弧度； 值从 0 至 弧度；对应于每一个取向，设定的一组欧拉角都是特殊唯独的；除了某些例外：两组欧拉角的 ，一个是 0 ，一个是 2 ，而 与 分别相等，就此两组欧拉角都描述同样的取向；两组欧拉角的 ，一个是 0 ，一个是 2 ，而 与 分别相等，就此两组欧拉角都描述同样的取向； 编辑 旋转矩阵前面提到，设定刚体取向的旋转矩阵是由三个基本旋转矩阵合成的：单独分开作用，每个矩阵各自代表围着其转动轴的旋转；但是，当它们照次序相乘， 最里面的 最右的 矩阵代表围着 z 轴的旋转；最外面的 最左的 矩阵代表围着 Z 轴的旋转；在中间的矩阵代表围着交点线的旋转；经过一番运算 ,的逆矩阵
4、是： 编辑 别种次序在经典力学 里，常常用 zxz顺规来设定欧拉角； 照着其次个转动轴的轴名， 简称为 x顺规；另外，仍有别种欧拉角组；合法的欧拉角组中，唯独的限制是，任何两个连续的旋转，必需围着不同的转动轴旋转；因此，一共有12种顺规；例如， y 顺规，其次个转动轴是 y- 轴，常常用在 量子力学 ， 核子物理学 ，粒子物理学 ；另外，仍有一种顺规， xyz顺规，是用在航空航天工程学；参阅Tait-Bryan angles；12欧拉运动定律 （ Eulers laws of motion）是牛顿运动定律 的延长，可以应用于多粒子系统运动或 刚体运动 ，描述多粒子系统运动或刚体的平移运动 、旋
5、转运动 分别与其感受的力 、力矩 之间的关系； 在艾萨克牛顿 发表牛顿运动定律之后超过半个世纪，于1750 年， 莱昂哈德欧拉 才胜利地表述了这定律；刚体也是一种多粒子系统，但抱负刚体是一种有限尺寸，可以忽视形变的固体；不论是否感受到作用力，在刚体内部，点与点之间的距离都不会转变；欧拉运动定律也可以加以延长，应用于可变形体 （deformable body）内任意部分的平移运动与旋转运动；角动量守恒定律维基百科，自由的百科全书跳转到：导航,搜寻在一个旋转系统中， 力F 与力矩 ；动量 p 与角动量 L 的关系 ；角动量守恒定律是指系统所受合外 力矩为零时系统的 角动量 保持不变；当方程式 右边
6、 力矩为零时，可知 角动量 不随时间变化；角动量守恒定律是 自然界 普遍存在的 基本定律 之一，角动量的守恒实质上对应着空间旋转不变性 ；例如，当考虑到 太阳系 中的行星 受到太阳 的万有引力这一 有心力 时，由于 万有引力 对太阳这个参考点力矩为零，所以他们以太阳为参考点的角动量守恒，这也说明了行星绕太阳 公转单位时间内与太阳连线扫过的面积大小总是恒定值的缘由；另外，角动量守恒定律也是 陀螺效应 的缘由；需要留意的是， 由于成立的条件不同， 角动量是否守恒与 动量 是否守恒没有直接的联系；在古典力学中， 转动惯量 又称惯性矩 ，通常以I表示， 国际单位制基本单位 为kg m2 ；转动惯量用以
7、描述一个物体对于其旋转运动的转变的对抗，是一个物体对于其旋转运动的 惯性；转动惯量在 旋转动力学 中的角色相当于线性动力学中的质量，描述角动量 、角速度 、力矩 和角加速度 等数个量之间的关系；2对于一个 质点 ，I =mr ，其中 m 是其质量 ， r 是质点和转轴的垂直距离；对于一个有多个质点的系统，；如该系统由 刚体 组成，可以用无限个质点的转动惯量和，即用积分运算其转动惯量；2假如一个质量为 m 的物件， 以某条经过 A 点的直线为轴， 其转动惯量为 I A；在空间取点 B，使得 AB 垂直于原本的轴；那么假如以经过B、平行于原本的轴的直线为轴，AB 的距离为d，就 I B =I A
8、+md；力矩在直线运动， F =ma；在旋转运动，就有 =I ，其中 是力矩， 是角加速度 ； 编辑 动能一般物件的 动能 是；将速度 v 和质量 m，用转动力学的定义取代：得出，简化得；假如一个人坐在一张可转动的椅子，双手拿重物，张开双手，转动椅子，然后突然将手缩到胸前，转动的速度将突然增加，由于转动惯量削减了； 编辑惯性张量对于三维空间中任意一参考点Q 与以此参考点为原点的 直角坐标系 Qxyz ，一个刚体的惯性张量是；1这里，矩阵的对角元素、分别为对于 x- 轴、 y- 轴、 z- 轴的 转动惯量 ；设定为微小质量对于点 Q 的相对位置；就这些转动惯量以方程式定义为， 2；矩阵的非对角元
9、素，称为 惯量积 ,以方程式定义为，3；编辑 导引图 A如图 A ，一个刚体对于质心G 与以点 G 为原点的 直角座标系 Gxyz的角动量义为；这里，代表微小质量在 Gxyz座标系的位置，代表微小质量的速度；由于速度是角速度叉积位置，所以，；定运算 x- 轴重量，相像地运算 y- 轴与 z- 轴重量，角动量为，；假如，我们用方程式 1设定对于质心 G 的惯性张量，让角速度为，那么，；4 编辑 平行轴定理主条目： 平行轴定理平行轴定理能够很简易的， 从对于一个以质心为原点的座标系统的惯性张量，转换至另外一个平行的座标系统；假如已知刚体对于质心G 的惯性张量，而质心 G 的位置是，就刚体对于原点
10、O 的惯性张量，依照平行轴定理，可以表述为， 5， 6；证明：图 Ba参考图 B，让、分别为微小质量点 O 的相对位置：，；依照方程式 2，；对质心 G 与原所以，相像地，可以求得、的方程式；b) 依照方程式 3，；由于，所以相像地，可以求得对于点O 的其他惯量积方程式； 编辑 对于任意轴的转动惯量图 C参视图 C ，设定点 O 为直角座标系的原点，点Q 为三维空间里任意一点， Q 不等于O ；摸索一个刚体，对于OQ-轴的转动惯量是；这里，是微小质量离 OQ-轴的垂直距离，是沿着 OQ-轴的单位向量 ， 是微小质量的位置；绽开叉积，；略微加以编排，特殊留意，从方程式 2 、3 ，这些积分项目，
11、分别是刚体对于x- 轴、 y- 轴、 z- 轴的转动惯量与惯量积；因此，；7假如已经知道，刚体对于直角座标系的三个座标轴，x- 轴、y- 轴、z- 轴的转动惯量；那么，对于 OQ-轴的转动惯量，可以用此方程式求得； 编辑 主转动惯量1由于惯性张量是个实值 的三维 对称矩阵 ，我们可以用对角线化，将惯量积变为零，使惯性张量成为一个 对角矩阵 ；所得到的三个 特点值 必是正实值；三个 特点向量 必定相互正交 ；换另外一种方法，我们需要解析特点方程式； 8也就是以下 行列式 等于零的的 三次方程式 ：；这方程式的三个根、都是正实的特点值；将特点值代入方程式8 ，再加上方向余弦 方程式，我们可以求到特点向量、；这些特点向量都是刚体的 惯量主轴 ；而这些特点值就分别是刚体对于惯量主轴的主转动惯量 ；假设 x- 轴、 y- 轴、 z- 轴分别为一个刚体的惯量主轴，这刚体的主转动惯量分别为、，角速度是；那么，角动量为； 编辑 动能刚体的动能可以定义为，这里，是刚体质心的速度，是微小质量相对于质心的速度；在方程式里，等 号右边第一个项目是刚体 平移运动 的动能，其次个项目是刚体 旋转运动 的动能；由于这旋转运动是围着质心转动的，；这里，是微小质量围着质心的角速度，
