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1、精品资料欢迎下载极坐标系与参数方程 学问梳理一、极坐标1 、极坐标定义 ： M 是平面上一点，表示 OM 的长度，是MOx ，就有序实数实数对, ,叫极径， 叫极角；一般地，0,2 ，0 ；2 、极坐标和直角坐标互化公式：xcos或2x2y2 y，的象限由点 x,y) 所ysintan x0x在象限确定 .二、常见曲线的极坐标方程1、圆的极坐标方程（1） 圆心在极点，半径为 r 的圆的极坐标方程是；（2） 圆心在极轴上的点 a,0 处，且过极点 O 的圆的极坐标方程是；（3） 圆心在点a, 处且过极点的圆 O 的极坐标方程是；22、直线的极坐标方程（1）过极点且倾斜角为的直线的极坐标方程是；（
2、2）过点 a,0 ，且垂直于极轴的直线的极坐标方程是三、常见曲线的参数方程直线圆椭圆双曲线；抛物线过点 x0 , y0 ，倾圆心在点 a, b ，中心在原点，中心在原点，长y 22 px p0斜角为半径为 r长、短轴分别为2a、2b短轴分别为2a、2b第一节平面直角坐标系中的伸缩、平移变换【学问点 】定义 1：设P x, y是平面直角坐标系中的任意一点，在变换x x0:y y0的作用下，点 Px, y 的对应点为 P x , y ；称 为平面直角坐标系中的伸缩变换；定义 2： 在平面内，将图形 F 上全部点依据同一个方向，移动同样长度，称为图形 F 的平移；如以向量 a 表示移动的方向和长度，
3、我们也称图形F 按向量 a 平移在平面直角坐标系中，设图形F 上任意一点P 的坐标为 x,y ，向量 ah, k ，平移后的对应点为P x ,y .就有：x, yh, kx , y 即有：x xh，y ykxxh在平面直角坐标系中，由yyk所确定的变换是一个平移变换；由于平移变换仅转变图形的位置，不转变它的外形和大小所以，在平移变换作用下，曲线上任意两点间的距离保持不变；22【典例 1】（2021 年高考辽宁卷（文）将圆 x标变为原先的 2 倍，得曲线 C.(I) 写出 C 的参数方程；y 1 上每一点的横坐标保持不变，纵坐（II ）设直线 l：2x y 2 0 与 C 的交点为 P1， P2
4、，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程练习：1. 将点 P2, 2 变换为点 P 6, 1 所用的伸缩变换公式是（）x1 xx1 xx3xx3xA.3B.2y2yy3yC.y1 yD.y2 y22. 在同始终角坐标系中，将直线换公式是.x2 y2 变成直线 2 x y 4 ，就满意图象变换的伸缩变3. 在平面直角坐标系中将曲线C : x2y21依据变换x 4x:3得到的曲线C 的方程为y y2 ；4. 已知曲线xC1 :ycos sin 为参数 . 如把曲线C 上各点的横坐标压缩为原先的112，纵坐标压 缩为 原先 的
5、32， 得 到曲线C2 ， 就 曲线C2 的参 数方 程为， 普 通方 程为 ；【典例 2】把圆C1 : x3 y14 先向下平移 1 个单位长度，再向右平移 3 个单位长22度后得到圆C2 ，求圆C2 的一般方程；练习：1.点 P2,3 先向左平移 3 个单位长度，再向上平移2 个单位长度后得到点P 的坐标是 ；2. 抛物线x24y 先向右平移 1 个单位长度，再向上平移1 个单位长度后得到的抛物线的顶点坐标是；3. 将曲线C : x2y22x4 y0 先向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度后得到的曲线的方程是；其次节极坐标与直角坐标互化x【学问点 】cos或2x2y2y，的
6、象限由点 x, y 所在象限确定 .ysintan x0x练习一：把以下点的极坐标化为直角坐标（1） 3,4；（ 2） 2, 23；（3） 4,；2（4） 3 ,2；（ 5） 3, 76； （6） 1,5；4练习二：把以下点的直角坐标化为极坐标（1） 3,3；（2） 0,5 ；（ 3）10,；32（4） 3,0； （5） 3,3； （6） 2,23； 考点二：曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化练习一：把以下曲线的极坐标方程化为直角坐标方程（1） cos2sin10 :；（2） 4cos330 :；4（3）4sin :4；（4）2sin:；（5）（6）4cos4cos:2sin:；7直线:；
7、（ 8）射线3:；449212:； 1022:；2223cos4sin1cos注意：极： 直线0 或射线0直： ykx （ 或 ykx （ x0 ） 或 ykx（ x0 ）练习二：把以下曲线的 直角坐标方程化为 极坐标方程 :（ 1） xy20 :； （2） 3 xy1 :；2（ 3）xy21 :；（4） 3 x2 42 y26 :；（ 5） x2y26x0 :；（6） x32y24 :；高考再现1（ 2021 年高考辽宁卷（文）在直角坐标系 xoy 中以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 . 圆 C1 , 直线 C2 的极坐标方程分别4sin,cos22.4(I) 求C1 与C2
8、 交点的极坐标 ;(II) 设 P 为C1 的圆心, Q 为C1 与C2 交点连线的中点 . 已知直线 PQ 的参数方程为x t 3ay b t 312tR为参数, 求 a, b 的值.2. （ 2021 年 高 考 广东 卷（ 文 ） 在极 坐 标 系 中 ， 曲 线 C1 与 C2 的方 程分 别为2cos2sin与 cos1；以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，就曲线 C1 与 C2 交点的直角坐标为63（ 2021 年高考陕西卷（文）在极坐标系中，点2，到直线 sin 6 1 的距离是 4. （2021 年高考湖南卷（文） ） 在直角坐标系 xOy
9、中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 .如曲线 C 的极坐标方程为2sin，就曲线 C 的直角坐标方程为.第三节参数方程与一般方程互化【学问点 】常见曲线的参数方程直线圆椭圆双曲线抛物线过点 x0, y0 ，倾斜角为圆心在点 a, b，半径为 r中心在原点， 长、短轴分别为2a、2b中心在原点， 长短轴分别为2a、2by22 px p0把参数方程化为一般方程的常用方法：（1） ）代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数；（2） ）三角法：利用三角恒等式消去参数，如平方关系sin 2cos21 ；（ 1） C :2x252y161 ， C :；2（ 2） C :
10、x3（ 3） C （:xy 242 21 ， C : y124 ， C :；（3） ）整体消元法：依据参数方程本身的结构特点，从整体上消去；练习一：把以下曲线的直角坐标（一般）方程化为参数坐标方程（4） ） C : x22y4 x2 y110 ， C :；（5） ） C : x2y24 y0 ， C :；（6） ）直线 l 的倾斜角为34，且过点P4, 2，就l ：；（7） ）直线 l 过点M4,1 ，倾斜角为，就 l ：；2练习二：把以下参数方程化为直角坐标方程（一般方程）x（1） C :y52t12t（ t ：参数）， C :；x（2） C :y1 1 t23 t2t为参数 C :；x（3） C :y24 t513 t5（ t ：参数）， C :；（4） C :xy2 3cos3 3 sin（ ：参数）， C :；（5） C :xy2cos t3 sin t（ t ：参数）， C :；（6） C :xy5cos 4sin（ ：参数）
