《2021年高一基本不等式及其应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年高一基本不等式及其应用（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、优秀学习资料欢迎下载基本不等式及其应用学问点归纳1、在不等式的应用中，常常使用的不等式公式有a 20 ； | a |0 ； a0a0 ；a 2b2c 2abbcca ；如 a, bR ，那么 a2b 22ab ，当且仅当 ab 时等号成立；如 a, bR，那么 ab2ab，当且仅当 ab 时等号成立；如 a, b, cR ，那么 abc33 abc ，当且仅当 abc 时等号成立；推 广 ： 如 果a1 ,a 2,a 3 ,anR 0a1a2a 3， 那 么nanna1a2 a3an（ 当 且 仅 当a1a 2a3an 时取“ =”）2、留意：应用公式的条件；取等号的条件；广义地懂得公式中的字
2、母a 、 b ；公式的逆用、变用：211ababa 2b 2ab；22定和定积原理：如 n 个正数的和为定值，就当且仅当这n 各正数相等时积取到最大值； 如 n 个正数的积为定值，就当且仅当这n 个正数相等时和取到最小值；3、应用不等式学问解题，关键是建立不等量关系，其途径有：利用题设中的不等量大小； 利用不等式基本性质； 利用所涉及对象的概念内涵外延所给予的不等量大小； 利用变量的有界性；利用几何意义；利用判别式；利用不等式基本公式等等题型讲解例1. （ 1）求 y216x2 的最小值；（2）求 yx x8的最小值；（3）如 0xx12, 求 x2-5x 的最大值；5解：（ 1）216 21
3、6 =8，当且仅当x2 = 16即 x=2 时原式有最小值 8；yx22xx（ 2） yx8=（x +1） +x18-1 28 -1=42 -1 ；当且仅当x +1=x18即 x=9-42 时x1原式有最小值 42 -1 ；（ 3 ） 0x0 ， 当 且仅 当55x=2-5x ，即 x=1 时，原式有最大值 1 ；55例2. （ 1）已知 x0, 求 y= 23x4 的最大值；2 求xf x1x2 的取值范畴；x(1) x0,3x4x423 x4x3x4 x433 x4 x4323 x4 x243从而有 23x的最大值为 2x4 3 ；（ 2）明显 x0 ， x1 x1x12x12 ， xx1
4、所以， 因此，xxf x2 或 xx的值域为 2,0 4,例3. （ 1）（ 06 陕西）已知不等式xy 1a9 对任意正实数x, y 恒成立，就正实数 a 的最小值为xy（）B、 8、 6C、4D 、2（ 2）（ 06 天津）某公司一年购买某种货物400 吨，每次都购买 x 吨，运费为4 万元 /次，一年的总储备费用为 4x 万元，要使一年的总运费与总储备费用之和最小，就x吨 20（ 3）已知x, y, zR ， x2 y3z0 ，就2y的最小值x3zy2x3z 2x26 xzxz9 z2x39 z319解： y=2xz=4 xz4xz=4z24 x22=3444 “ ab 0”是“ aba
5、 2b22”的 （）AA 、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不允分也不必要条件（ 5）（ 07 北京）假如正数 a， b，c，d 满意abcd4 ，那么（）A、 ab cd ，且等号成立时 a，b，c， d 的取值唯独 、 ab cd ，且等号成立时 a，b， c， d 的取值唯独、 ab cd ，且等号成立时 a，b，c， d 的取值不唯独、 ab cd ，且等号成立时 a，b， c， d 的取值不唯独（ 6）已知实数 x、y 满意 x2+y2=1，就 1 xy1+xyBA 、有最小值1 ，也有最大值1B 、有最小值233 ，也有最大值14C、有最小值，但无最大值D
6、 、有最大值 1，但无最小值41例4. 如正实数 x、y 满意x21,就x yy 的最小值是多少？分析：此题主要考查最值的求法，函数与方程的思想，均值不等式的应用，化归转化的思想，直线方程与数形结合的思想，以及敏捷分析解决数学问题的才能.解法一： 1x21, xy y xy 1 xy 12 xyy2 x3xy2 23.当且仅当y2 xxyx21即时取等号 .121y22x y解法二： 1xy ,x yy yy22,yxyyy2y22yy22 y23y2223当且仅当2y2y2,即y222 时取等号 .解法三：设 xyb, 就y1xb, 代入x21得 ： x y21b xb0,须0, 解得b3
7、22或b322 （ x1, y2,xy f 3,舍去xy322解法四1221 ,112,成等差数列 .设 1xxy1d, 22y2x2y1d 1d221 ,212xy1d1d2264d14d 2设32dt, 就xy2tt 26t82, tt8 6t82,4, tt42 ,当且仅当 t8 ,即t t22 2,4时取等号 ,xy322此题虽然不难，但考查了同学的审题才能，及在解题过程中正确利用各学问点，可以任同学发挥，既训练了同学的发散思维，又可以提高同学综合利用各部分学问的才能.例5. 已知 x、y、z R+，且 xyz1, 求 1x4 9 的最小值 . yz解：将 xyz1 代入所求代数式，有
8、xyz 1x49 yz1 x xyz4 x yyz9 x zyz149 yx4 x y z9 x xz 4 z y9 y z又 x、y、zR+,由重要不等式原式14461236149 的最小值为xyz36.2例6. 设 x 0, y 0,x 2+ y2=1,求 x 1y2 的最大值为；+2分析 : x 2y22与=1 是常数 , xy的积可能有最大值22221y2可把 x 放到根号x 1y 里面去考虑 ,留意到 x 2 与 1+y2 的积 ,应处理成 2 x222解: x 0, y 0, x 2+ y=12 x 1y2 =x21x2 1y2y2 =x22x2 1y22y 21 22=2222
9、= 3 224当且仅当 x=3,y=22 即 x2 =21 y22时,x 1y2 取得最大值 324+例7. 已知 a、bR，且 a + b =1 ，求 a1 2ba1 2的最小值 .b错解： a1a2 ，b12b a a1 2a1 2ab1 28bb1 2 的最小值是 8.b11点评 : 以上错误的缘由是忽视了取等号的条件. 事实上 , 当 aa2 , bb2 时, 等号成立的条件是a=1, b =1, 这时有 a + b =2, 与已知条件 a + b =1 冲突 , 所以, 这两个等式中的等号不能同时成立.正解 : 利用“平方均值算术均值”:a 2b 2ab22a1 2ba21 2ba1b1 ab2abab11abab2211 ab 225a1 2b即a21 2b25 ,22a1 2ab1 225b4以上等号成立的条件均为1ab,2故 a1 2ab1 2 的最小值是b25 .4用均值不等式中等号成立的条件证题例8. 设 a,bR, 且a 1b2b 1a 21, 求证: a 2b 21.证明：由平均值不等式，得a 1b2a2 12b 2 2a 21b 22b 1a2b 2 12a 2 2b21a 22a 21b 2b 21a 2 +，得a 1b 2
