精品资料欢迎下载第三节 曲面及其方程一 曲面方程的概念如一个三元方程和曲面 S 之间满意 :F 〔 x,y, z〕 0〔1〕(1) S上的任意点的坐标 〔 x, y, z〕 都满意 〔1〕 式;(2) 假如一点 P 的坐标 〔 x, y, z〕 满意 〔1〕 式, 就 P 在 S 上,就称 〔1〕 式为 S 的方程, 称 S 为〔1〕 式的 图形 .例 1 〔 球面的标准方程 〕 球心在点 M 0程为x0 ,y0 , z0且半径为 R 的球面的方2 2 2 2x x y y z z R .0 0 0如球心在原点 , 就球面方程为x2 y 2 z2R2 .例 2 设有点A 1, 2, 3 和 B2, 1, 4, 求线段 AB 的垂直平分面的方程.解 设点M x, y,z 为所求平面上的任一点 , 就 AM BM , 即2 2 2x 1 y 2 z 32 2x 2 y 12z 4 ,于是得 2x6 y 2z7 0 , 此即所求 .例 3 〔 球面的一般式 〕 方程x2 y2z2 Dx Ey Fz G 0表示一个球面 , 球心为 PD , E ,F , 半径为2 2 2r 1 D 22E 2 F 24G .当 D 2E 2 F 2 4G0 时, 该球面为实球 .当 D 2E 2 F 2 4G0 时, 该球面为点球 , 即原方程表示一点P D , E , F .2 2 2当 D 2E 2 F 2 4G0 时, 该球面为虚球 , 即原方程无实轨迹 .例如 , 在 x2y2 z2 2 x 4 y0 中, D2 , E4 , F0 , G 0 .于是球心为P 1, 2, 0, 半径为 r 5 .二 旋转曲面平面上的一条曲线 C 绕该平面上的一条直线 l 旋转一周所形成的曲面 S 叫做旋转曲面 .在 yz平面上的曲线C : f y, z0 绕 z 轴旋转所得的旋转曲面的方程为f x2 y2 , z 0 .C 绕 y 轴旋转所成的旋转面的方程为f y,x2 z2 0 .在 zx 平面上的曲线C : f z, x0 绕 z 轴旋转所得的旋转曲面的方程为f z,C 绕 x 轴旋转所成的旋转面的方程为f y2x2 y 2 0 .z2 , x 0 .在 xy平面上的曲线C : f x, y0 绕 x 轴旋转所得的旋转曲面的方程为2 2f x, y z 0 .C 绕 y 轴旋转所成的旋转面的方程为f x2 z2 , y 0 .例 4 直线 L 绕另一条与 L 相交的直线旋转一周 , 所得的旋转面叫做 圆锥面 .两直线的交点叫做圆锥面的 顶点 , 两直线的夹角 0叫做圆锥面的 半2顶角. 试建立顶点在原点 O 、旋转轴为 z 轴且半顶角为 的圆锥面的方程 .解 在 yz平面上 , 直线 L 的方程为z ycot. 于是所求圆锥面的方程为z x2y2 cot, 令 cot a , 就 z2a2 x2y2 为所求 .x2 z2例 5 将 xz 平面上的双曲线2 2 1绕 x 轴旋转所生成的旋转面为a c2x2 y2 z2x2 y2 z22 2 1, 即 2a c a2 22c2 1 , 绕 z 轴旋转所生成的旋转面为x y z2x2 y 2 z2a2 c2 1, 即 a2x2 y22 1 .c将 xy平面上的椭圆2 2 1 绕 y 轴旋转所生成的旋转面为a b22 2x z y2x2 z2 y2a2 b2 1, 即 a22 1 .b22例〔 补〕 说明以下旋转面是怎样形成的 : z x y .解 旋转面z x2y2 的旋转轴是 z 轴. 用平面 x0 去截曲面z x2y 2 ,得 yz面上的抛物线z y2 , 它即旋转面z x2y 的母线 .2注 如用平面 y0 去截曲面z x2y2 , 可得 xz 面上的抛物线z x2 ,它也是旋转面z x2y2 的母线 .三 柱面平行于固定直线并沿固定曲线 C 移动的直线 L 形成的轨迹叫做 柱面 . 固定曲线 C 叫做柱面的 准线 , 动直线 L 叫做柱面的 母线 .方程 F x, y 0 在空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱面 , 其准线为 xy 面上的曲线 F x, y 0 .方程 G x, z 0 在空间直角坐标系中表示母线平行于 y 轴的柱面 , 其准线为 xz 面上的曲线 G x, z 0 .方程 H y, z 0 在空间直角坐标系中表示母线平行于 x 轴的柱面 , 其准线为 yz面上的曲线 H y, z 0 .特殊留意 : 不能说 方程F x, y0 在空间直角坐标系中表示 xy 面上的一条曲线 , 而要说 它表示一个曲面 . 对 G x, z0 和 H y, z0 也是一样的 .例 6 方程 x2y2 R 表示母线平行于于 z 轴的圆柱面 , 其准线是 xy面上2的圆 x2 y2R2 .方程 y2 2 z 表示母线平行于于 x 轴的柱面 , 其准线为 yz面上的抛物线y2 2 z . 该柱面称为 抛物柱面 .方程 x z 0 表示母线平行于于 y 轴的柱面 , 其准线为 xz 面上的直线x z 0 . 该柱面为一个平面 .四 二次曲面三元二次方程所表示的曲面叫做 二次曲面 .22(1) 椭圆锥面 x y z2a 2 b 2x2(2) 椭球面 2a面的半轴 .y 2 z2b 2 c21〔 a 、 b 、 c0 〕. 其中 a 、 b 和 c 称为椭球2如 a b , 就 xa 2y 2 z2b 2 c 21成为x2 y2a2 a 2z2c2 1 .x2 z2这是由 xz 面上的椭圆面.2 2 1 绕 z 轴旋转而成的旋转曲面 , 称为 旋转椭球a c当 a b c时, 此椭球面成为球面 x2y2 z2a 2 .x 2 y 2 z2例 〔 补〕 求椭球面 1与各坐标轴的交点 .a 2 b 2 c2x2 02 02解 该曲面与 x 轴的交点x, 0, 0满意a2 b 2 c21 , 于是 , x a .故曲面与 x 轴的交点为 a, 0, 0 .同理 , 曲面与 y 轴的交点为 0,b, 0, 与 z 轴的交点为 0, 0, c .x2 y2 z2(3) 单叶双曲面a2 b 2 c2 1〔 a 、 b 、 c0 〕.x2 y2 z2如 a b , 就a 2 b2 c2 1 成为x2 y2a2 a 2z2c2 1 .y2 z2它是由 yz面上的双曲线曲面.2 2 1 绕 z 轴旋转而得的旋转面 , 称为 旋转单叶双a cx2 y2 z2(4) 双叶双曲面 S :2 2 2a b c1 〔 a 、 b 、 c0 〕.22(5) 椭圆抛物面 x y za2 b 2原点称为该 椭圆抛物面的顶点 .x2 y2(6) 双曲抛物面 〔 马鞍面 〕a 2 b 2 z原点称为 双曲抛物面的鞍点 .作业 P.318 1 —— 9, 10 〔1〕,〔2〕,〔3〕, 11。