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1、精品资料欢迎下载数列型不等式放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而布满摸干脆和挑战性，能全面而综合地考查同学的潜能与后继学习才能，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材；这类问题的求解策略往往是：通过多角度观看所给数列通项的结构，深化剖析其特点，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一利用重要不等式放缩1. 均值不等式法例 1 设 Sn1 22 3nn1. 求证nn12 n1 2Sn.2解析此数列的通项为akkkkk11) , k11,2,n, n.n1k即 nnkk1S1n2n n1k2nn，kSnk 11 2.k ，k 1222
2、22注： 应留意把握放缩的“度” ：上述不等式右边放缩用的是均值不等式abab ，如放成2kk1k1就得nSn k1k 1 n1 n32n1 22，就放过“度”了！a依据所证不等式的结构特点来选取所需要的重要不等式，这里n11a1ann1ana1ann22a1ann其中， n2,3 等的各式及其变式公式均可供选用；例2已 知 函 数f x11a 2 bx， 如 f 14 ， 且5f x在 0 ， 1 上 的 最 小 值 为1 ， 求 证 ：2f 1f 2f n4 x1nn 1211 . （ 02 年全国联赛山东预赛题）211简析 f xx141111 4x111 x02 2 xn1 11f 1
3、1 f nn11221 .22222n11422n 12n 12nnn2nn 1例 3 已知a, b 为正数，且1 ，试证：对每一个 nN， abab22. （ 88 年全国联赛题）简析 由 1a11得 abnbaba b，又 a1b a1 2anb bb4 ，故 ababa4 ，而C ab nC 0 a nC 1a n 1bC r a nr b rC n bn ，nnrn 1令 f nab na nbn ，就f n = C 1a n 1bC r a nr b rn 1ab n1iCnnrrrnr1n1，由于nn iCn，倒序相加得nn11nn2 f n =C n ababCn aba bCn
4、abab ，1nnCnn而 an 1babn 1a n r bra r bn rabn 1a n 1b2 a nb n2 4 22n 1 ，就n2 f n = C 1rC n 1 a r b n ra n r b r 2 n2 a r b n ran r br 2 n2) 2n1 ，所以f n2 n22 n ，即 对每一个 nN ， ab nanbn2 2 nn 1 .n2n 1n2323nn例 4 求证 C 1CCCnn2 2 n1, nN .1简析 不等式左边 CnCnCnCn211222nn2n1n n 1 2222n 1 = nn 12 2 ，原结论成立 .2. 利用有用结论例 5 求
5、证 1111 11 35112n12n1.简析 此题可以利用的有用结论主要有：法 1 利用假分数的一个性质bbm ba aam0, m0 可得2461352n2n135722462n1 2n1352462n1 2n2n1 2461352n2n12n1 即 111111n35112n12n1.法 2 利用贝努利不等式1x1nxnN , n2, x1, x0 的一个特例11 22k11212k 此处1n2, x11得2k112k1n11n2k12n1.2k12k1k 12k1k 12k1注： 例 5 是 1985 年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998 年全国高考文科试题；进
6、行升维处理并加参数而成理科姊妹题；如理科题的主干是：证明 1111114711xx3n23 3n1.可考虑用贝努利不等式n3 的特例 例 6 已知函数f xlg 123n1 xna n x,0a1, 给定 nN, n2.求证：f 2 x2 f x x0 对任意 nN 且 n2 恒成立；（ 90 年全国卷压轴题）abnnn简析 此题可用数学归纳法证明，详参高考评分标准；这里给出运用柯西（Cauchy ）不等式xx的简捷证法： ai bii 1 222iii 1i 1f 2x2 f xlg 122 x32xn1 2 xna n 2x2 lg 123n1 xna n x12x3xn1 xa nx 2
7、n122 x32 xn1 2 xa n 2 x 而由 Cauchy 不等式得1 11 2 x1 3 x1 n1) xa nx 21212 122 x32 x n1 2xa 2n 2x x0 时取等号 n122 x32x n1 2xan2 x （0a1 ），得证！例 7已知 a11,an 111n2ann1 . I 用数学归纳法证明ann22 n2) ； II 对 ln1xx 对 x0 都成立，n证明 ae2 （无理数 e2.71828）（ 05 年辽宁卷第 22 题）解 析 II 结 合 第 I 问 结 论 及 所 给 题 设 条 件 l n 1 x x （ x0 ） 的 结 构 特 征 ，
8、可 得 放 缩 思 路 ：an 111n 2n1 a2nnln an 1ln11n 2n1 ln a 2nnln ann 11n 2n1n ；于是2n 11ln an 11ln an1n 2n11，2 n1 n 11211即ln ai 1i 1ln ai 2i i 1ii2ln anln a11n11n22n2.n2ln anln a12ae2.注： 题目所给条件 ln1xx（ x0 ）为一有用结论，可以起到提示思路与探究放缩方向的作用；当然，此题仍可用结论 2 nnn1n2 来放缩：an 111nnan11n n1an 1111nnan11ln an 11ln an1ln11nn11.n n
9、1n 1 ln ai 11ln ain 111ln an1ln a 21111 ，i 2i 2i i1n即 ln an11ln 3an3e1e 2 .例 8已知不等式 112311 log2n2n, nN , n2.log 2n 表示不超过log 2 n的最大整数； 设正数数列 an满意： a1bb0, annan 1, n2.nan 1求证 an2b, n2blog 2 n3. （ 05 年湖北卷第（ 22）题）简析 当 n2 时 annan 11nan 111 ，即111anan 1nnan 1n1k 2akan1ak 1an 1n1.k 2kan 1n于是当 n3 时有 11ana11 logn222ban.2blog 2 n注 ： 本 题 涉 及 的 和 式 11231 为 调 和 级 数 ， 是 发 散 的 ， 不 能 求 和 ； 但 是 可 以 利 用 所 给 题 设 结 论n11123n1log
