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1、学习必备欢迎下载三角函数精品课程三角函数11. 回忆： 中学是任何定义角的？ （从一个点动身引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、简洁懂得，但它的弊端在于“狭隘”2. 讲解：“旋转”形成角（ P4）突出“旋转”留意：“顶点”“始边”“终边” “始边”往往合于 x 轴正半轴3. “正角”与“负角”这是由旋转的方向所打算的；记法：角或可以简记成4. 由于用“旋转”定义角之后，角的范畴大大地扩大了；1角有正负之分如： =210= 150= 6602 角可以任意大实例：体操动作：旋转 2 周（ 360 2=720 ） 3 周（ 360 3=1080 ）3 仍有零角一条射线，没有旋转
2、三、关于“象限角”为了争论便利，我们往往在平面直角坐标系中来争论角角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，就此角不属于任何一个象限）例如： 30390330 是第象限角30060 是第象限角5851180 是第象限角2000 是第象限角等四、关于终边相同的角1. 观看： 390 ， 330 角，它们的终边都与 30 角的终边相同2. 终边相同的角都可以表示成一个0 到 360 的角与kkZ 个周角的和390 =30 +360330 =303601470 =30 +4360 k1k1k430 =30 +
3、0360k01770 =305360k53. 全部与 终边相同的角连同 在内可以构成一个集合S|k 360 , kZ即：任何一个与角 终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和弧度制弧度制另一种度量角的单位制它的单位是 rad 读作弧度Br1radAoCl=22rardrAo定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1 弧度的角；如 图 ：AOB=1rad AOC=2rad周角=2 rad1. 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是02. 角 的弧度数的肯定值l （ l 为弧长， r 为半径）r3. 用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来
4、度量任一非零角，单位不同，量数也不同；三、角度制与弧度制的换算抓住： 360 =2 rad180 =rad 1 =rad 1800.01745rad1rad18057.3057 18例一 把 67 30 化成弧度解： 673067 12 6730180rad67 123 rad 8例二 把 35rad 化成度解： 3 rad531805108例三 用弧度制表示：1 终边在 x 轴上的角的集合2 终边在 y 轴上的角的集合3终边在坐标轴上的角的集合解： 1 终边在 x 轴上的角的集合 S1|k,kZ2 终边在 y 轴上的角的集合 S2|k,kZ 23 终边在坐标轴上的角的集合S3|k, kZ 2
5、由公式：llrn r比相应的公式 l简洁r180弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的肯定值与半径的积例一利用弧度制证明扇形面积公式S1 lR 其中 l 是扇形弧长， R 是圆的半径；2证：如图：圆心角为 1rad 的扇形面积为：R1R22oS弧长为 l 的扇形圆心角为 l radlR Sl1R2R21 lR2n R2比较这与扇形面积公式S扇要简洁360例二 直径为 20cm的圆中，求以下各圆心所对的弧长4 1653解： r10cm ： lr410340cm 3： 165180165 rad 11rad 12 l111210556cm例三 如图，已知扇形 AOB 的周长是 6cm，该扇形AB的中
6、心角是 1 弧度，求该扇形的面积；解： 设扇形的半径为 r ，弧长为 l ，就有o2rl6r2l1l2 r 扇形的面积 S1 rl22cm2例四 运算sin4解： 454 sin4sin 4522例五 将以下各角化成 0 到 2的角加上 2kkZ 的形式193153解： 19331563453602460例六 求图中大路弯道处弧 AB的长l （精确到 1m） 图中长度单位为： mR=45解： 603 lR453.1415347 m函数意义1. 设 是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（ x,y）就 P 与原点的距离 rx 2y 2x2y 20 （图示见 P13 略）2. 比值y 叫
7、做 的正弦记作：rs i ny r比值 x 叫做 的余弦记作：r比值 y 叫做 的正切记作：x比值 x 叫做 的余切记作：yc o sx rt a ny xc o tx y比值 r 叫做 的正割记作：xs e cr x比值 r 叫做 的余割记作：yc s cr y留意突出几个问题：角是“任意角”，当 =2k + kZ 时， 与 的同名三角函数值应当是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等；实际上，假如终边在坐标轴上，上述定义同样适用； （下面有例子说明）三角函数是以“比值”为函数值的函数 r0 ，而 x,y 的正负是随象限的变化而不同， 故三角函数的符号应由象限确定（今后将专题争论）定义域
8、：ys i nyc o syt anR RkkZ 2yc o tys ecyc s ckkZkkZ 2kkZ二、例一 已知 的终边经过点 P2,3 ，求 的六个三角函数值y解： x2, y3, r223213oxsin=3 1313cos= 21313taPn2,-3=3cot=223sec=例二 求以下各角的六个三角函数值13csc=1323 0 322解： 的解答见 P16-17 当 =时 x20, yrsin=1cos=0tan不存在 cot=02222sec不存在csc=1 22例三 已知角 的终边经过 P4,3, 求 2sin+cos 的值已知角 的终边经过 P4a,3a,a0 求
9、2sin+cos 的值解： 由定义 ： r5sin =3cos = 54 2sin+cos=2 55如 a0r5a就 sin=3cos = 54 2sin+cos =2 55如 a0r5a就 sin = 3cos =42sin+cos = 2555三角函数线1（定义）“单位圆”圆心在原点 O，半径等于单位长度的圆设任意角 的顶点在原点， 始边与 x 轴的非负半轴重合， 角 的终边也与单位圆交于 P，坐标轴正半轴分别与单位圆交于 A、B 两点过 Px,y作 PMx 轴于 M ，过点 A1,0 作单位圆切线，与角的终边或其反向延长线交于 T，过点 B0,1作单位圆的切线，与角的终边或其反向延长线交
10、于 S2. 简洁介绍“向量”（带有“方向”的量用正负号表示） “有向线段”（带有方向的线段）方向可取与坐标轴方向相同，长度用肯定值表示；例：有向线段 OM，OP长度分别为 x , y当 OM=x 时 如x0OM 看作与 x 轴同向OM 具有正值 x3. siny rcosyyMP 1xxxOM r1如 x0OM 看作与 x 轴反向OM 具有负值 x有向线段 MP,OM,AT,BS 分别称作tancotyMPxOMx OMy MPATAT OABSBS OB角的正弦线 ,余弦线 ,正切线 ,余切线四、例一利用三角函数线比较以下各组数的大小：21 s i n与sin 42 tan 2与 tan 4
11、3cot 2与 cot 4353535解：S2S1B P2P1oAT 2T 1如图可知：sin 2sin 4tan 2tan 4cot 2cot 4353535例二 利用单位圆查找适合以下条件的0 到 360 的角1sin 1 2y2tan33y解： 1230 TP2P1oxoAx21030 1503090 或 210270例三 求证：如 01时，就 sin1sin222yP2P1oM 2 M 1x证明：分别作 1,2 的正弦线 x 的终边不在 x 轴上sin1=M1P1sin2 =M2P22 012M1P1M2 P2即 sin1sin2三角函数的值在各象限的符号1第一象限：.x0, y0 sin0,cos0
