《2021年解微分方程欧拉法-R-K法及其MATLAB实例》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年解微分方程欧拉法-R-K法及其MATLAB实例（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、精品资料欢迎下载解微分方程的欧拉法，龙格 - 库塔法及其 MATLAB简洁实例欧拉方法 （Euler method 用以对给定初值的常微分方程 即初值问题 求解分为前进 EULER法、后退 EULER法、改进的 EULER法；缺点：欧拉法简洁地取切线的端点作为下一步的起点进行运算，当步数增多时， 误差会因积存而越来越大；因此欧拉格式一般不用于实际运算；改进欧拉格式：为提高精度， 需要在欧拉格式的基础上进行改进； 采纳区间两端的斜率的平均值作为直线方程的斜率；改进欧拉法的精度为二阶；算法为：微分方程的本质特点是方程中含有导数项，数值解法的第一步就是设法排除其导数值；对于常微分方程：xa,b ya
2、 = y0可以将区间 a,b分成 n 段，那么方程在第 xi 点有 yxi= fxi,yxi， 再用向前差商近似代替导数就为：在这里， h 是步长，即相邻两个结点间的距离；因此可以依据xi 点和 yi 点的数值运算出 yi+1 来：i=0,1,2,L这就是向前欧拉格式；改进的欧拉公式：将向前欧拉公式中的导数 fxi,yi改为微元两端导数的平均，即上式便是梯形的欧拉公式；可见，上式是隐式格式， 需要迭代求解；为了便于求解， 使用改进的欧拉公式：数值分析中， 龙格库塔法 （Runge-Kutta ）是用于模拟常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法；实际上，龙格 - 库塔法是欧拉方法的一种推广，
3、向前欧拉公式将导数项简洁取为fxn,yn,而改进的欧拉公式将导数项取为两端导数的平均；龙格- 库塔方法的基本思想：在区间xn,xn+1内多取几个点，将他们的斜率加权平均，作为导数的近似；龙格库塔法的家族中的一个成员如此常用，以至于常常被称为“RK4”或者就是“龙格库塔法”；令初值问题表述如下；就，对于该问题的 RK4由如下方程给出：其中这样，下一个值 yn+1 由现在的值 yn 加上时间间隔 h 和一个估算的斜率的乘积打算；该斜率是以下斜率的加权平均：的值；k1 是时间段开头时的斜率；k2 是时间段中点的斜率， 通过欧拉法采纳斜率 k1 来打算 y 在点 tn + h/2k3 也是中点的斜率，
4、但是这次采纳斜率k2 打算 y 值；k4 是时间段终点的斜率，其 y 值用 k3 打算；当四个斜率取平均时，中点的斜率有更大的权值：RK4法是四阶方法，也就是说每步的误差是h5 阶，而总积存误差为 h4 阶；留意上述公式对于标量或者向量函数 y 可以是向量 都适用；例子：下面给出了数值求解该微分方程的简洁程序；其中 y1,y2,y3,y4分别为向前欧拉公式，改进的欧拉公式，4 级 4 阶龙格- 库塔公式及精确解；h=0.1; x=0:h:1;y1=zerossizex;y11=1;y2=zerossizex; y21=1;y3=zerossizex; y31=1;for i1=2:length
5、xy1i1=y1i1-1+h*y1i1-1-2*xi1-1/y1i1-1;k1=y2i1-1-2*xi1-1/y2i1-1;k2=y2i1-1+h*k1-2*xi1/y2i1-1+h*k1; y2i1=y2i1-1+h*k1+k2/2;k1=y2i1-1-2*xi1-1/y2i1-1;k2=y2i1-1+h*k1/2-2*xi1-1+h/2/y2i1-1+h*k1/2; k3=y2i1-1+h*k2/2-2*xi1-1+h/2/y2i1-1+h*k2/2;k4=y2i1-1+h*k3-2*xi1-1+h/y2i1-1+h*k3;y3i1=y3i1-1+k1+2*k2+2*k3+k4*h/6;endy4=sqrt1+2*x;%plotx,y1,x,y2,x,y3,x,y4%legendy1,y2,y3,y4plotx,y4-y1,x,y4-y2,x,y4-y3legendy1,y2,y3
