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1、学习必备欢迎下载求二次函数的解析式及二次函数的应用2021.6.8一、求二次函数的解析式：最常用的方法是 待定系数法 ，依据题目的特点，挑选恰当的形式，一般，有如下几种情形：（ 1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式 ；（ 2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式 ；（ 3）已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式 ；（ 4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式 ；二、 二次函数的应用：（ 1）应用二次函数解决实际问题的一般思路： 懂得题意；建立数学模型；解决题目提出的问题；（ 2）应用二次函数求实际问题中的最值：即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的
2、实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解；求最值时，要留意求得答案要符合实际问题；三、二次函数的三种表达形式：1 、一般式：y=ax2+bx+ca 0,a 、b 、c 为常数 ，顶点坐标为,把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b 、c 的值；2 、顶点式 ：y=ax-h2+ka 0,a 、h 、k 为常数 ，顶点坐标为对称轴为直线x=h ，顶点的位置特点和图像的开口方向与函数y=ax 2 的图像相同，当 x=h 时， y 最值 =k ；有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；例：已知二次函数 y 的顶点 1,2 和另一任意点 3,10 ，求
3、y 的解析式；解：设 y=ax-12 +2 ，把 3,10 代入上式，解得y=2x-12 +2 ；留意 ：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h0 时， h 越大，图像的对称轴离 y 轴越远，且在 x 轴正方向上，不能因h 前是负号就简洁地认为是向左平移；详细可分为下面几种情形：当 h0 时， y=ax-h2 的图象可由抛物线y=ax 2向右平行移动 h 个单位得到； 当 h0 ， k0 时，将抛物线y=ax 2向右平行移动 h 个单位，再向上移动k 个单位，就可以得到 y=ax-h2+k 的图象；当 h0,k0时，将抛物线y=ax 2向右平行移动 h 个单位，再向下移
4、动 |k| 个单位可得到y=ax-h2 +k 的图象；当 h0时，将抛物线y=ax 2向左平行移动 |h| 个单位，再向上移动k 个单位可得到y=ax-h2 +k 的图象；当 h0 ， k0 时，开口方向向上；a0 ，那么当时， y 有最小值且 y 最小 =；假如 a0 ，那么，当时， y 有最大值，且 y 最大 =；例：已知二次函数当x 4 时有最小值 3 ，且它的图象与 x 轴两交点间的距离为 6 ，求这个二次函数的解析式；点拨：析解 二次函数当x 4 时有最小值 3，顶点坐标为（4 ， -3 ），对称轴为直线 x 4 ，抛物线开口向上；由于图象与 x 轴两交点间的距离为 6 ，依据图象的
5、对称性就可以得到图象与x 轴两交点的坐标是（ 1 ， 0 ）和（ 7 ， 0 ）；抛物线的顶点为（ 4 ， -3 ）且过点（ 1， 0）；故可设函数解析式为y ax 4 2 3；将（ 1 ， 0 ）代入得 0 a1 4 23,解得 a 13 y 13x 4 2 -3 ，即 y 13x 2 83x 73 ； 典型例题三 ： 告知对称轴，相当于告知了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出；例如 ：已知二次函数的图象经过点A （ 3 ， -2 ）和 B（ 1 ， 0 ），且对称轴是直线x 3求这个二次函数的解析式 .已知关于 x 的二次函数图象的对称轴是直线x=1 ，图象交 y 轴于点（ 0 ，2 ）
6、，且过点（ -1 ， 0 ），求这个二次函数的解析式.已知抛物线的对称轴为直线x=2 ，且通过点（ 1 ，4 ）和点（ 5 ， 0 ），求此抛物线的解析式.二次函数的图象的对称轴x=-4 ，且过原点，它的顶点到x 轴的距离为 4 ，求此函数的解析式 典型例题四 ： 利用函数的顶点式，解图像的平移等问题特别便利；例：把抛物线 y=ax 2+bx+c的图像向右平移 3 个单位 , 再向下平移 2 个单位 , 所得图像的解析式是 y=x 2-3x+5,就函数的解析式为 ；点拨 ：解： 先将 y=x 2-3x+5 化为 y=x-3 2+5-29, 即 y=x-43 2 + 11 ；24它是由抛物线 y
7、=ax 2+bx+c的图像向右平移 3 个单位 , 再向下平移 2个单位得到的，原抛物线的解析式是y=x-3 +3 2+211+2=x+43 2 +219 =x 2+3x+7；4作业典型题2021.6.81、如图，在一块三角形区域ABC中， C=90，边 AC=8， BC=6，现要在 ABC 内建造一个矩形水池 DEFG，如图的设计方案是使DE在 AB上（ 1）求 ABC 中 AB 边上的高 h；（ 2）设 DG=x，当 x 取何值时，水池 DEFG的面积最大？（ 3）实际施工时，发觉在AB 上距 B 点 1.85 的 M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？假如在，为爱护大树
8、，请设计出另外的方案，使三角形区域中欲建的最大矩形水池能躲开大树分 析 ：（ 1）由三角形 ABC的面积可求出 AB边上的高；（ 2）由相像三角形对应高的比等于相像比，可用含x 的代数式表示GF，得到水池的面积 y 关于 x 的二次函数，由二次函数的性质，可求面积最大时x 的值；（ 3）依据相像形可算出BE 小于 1.85 ，大树在最大水池的边上，为了躲开，以C 为点在三边上各去一点矩形二边与三角形二直角边重合答：解：如图， （1）过点 C 作 CIAB，交 GF于 H，在 ABC 中用勾股定理得：AB=10，S1ABC=121AC.BC=AB.CI，2168=210CI，2CI=4.8 ； ABC中 AB 边上的高 h=4.8 （ 2）水池是矩形，GFAB， CGF CAB，CH， CI 分别是 CGF 和 CAB对应边上的高，CH / CI =GF / AB，4.8x
