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1、.第8章梁的弯曲应力梁在荷载作用下， 横截面上一般都有弯矩和剪力，相应地在梁的横截面上有正应力和剪 应力； 弯矩是垂直于横截面的分布力的合力偶矩；而剪力是切于横截面的分布力的合力；所以，弯矩只与横截面上的正应力相关，而剪力只与剪应力相关；本章争论正应力和剪 应力的分布规律， 从而对平面弯曲梁的强度进行运算；并简要介绍一点的应力状态和强度 理论；8.1 梁的弯曲正应力平面弯曲情形下， 一般梁横截面上既有弯矩又有剪力，如图8.1 所示梁的 AC、DB段；而在 CD段，梁横截面上剪力等于零，而只有弯矩， 这种情形称为纯弯曲； 下面推导梁纯弯曲时横截面上的正应力公式；应综合考虑变形几何关系、物理关系和
2、静力学关系等三个方面；8.1.1 弯曲正应力一般公式1、变形几何关系为争论梁弯曲时的变形规律，可通过试 验，观看弯曲变形的现象； 取一具有对称截面的矩形截面梁， 在其中段的侧面上， 画两条垂直于梁轴线的横线mm和 nn，再在两横线间靠 近上、下边缘处画两条纵线ab 和 cd，如图8.2a所示；然后按图8.1a所示施加荷载，使梁的中段处于纯弯曲状态；从试验中可以观看到图 8 .2b情形：（ 1）梁表面的横线仍为直线， 仍与纵线正交， 只是横线间作相对转动；（ 2）纵线变为曲线，而且靠近梁顶面的纵线缩短，靠近梁底面的纵线伸长；（ 3）在纵线伸长区，梁的宽度减小，而在纵线缩短区，梁的宽度就增加，情形
3、与轴向拉、压时的变形相像；依据上述现象， 对梁变形与受力作如下假设： 变形后，横截面仍保持平面，且仍与纵线正交； 同时， 梁各纵向纤维仅承担轴向拉应力或压应力；前者称为 弯曲平面假设 ；后者称为 单向受力假设 ；.依据平面假设， 横截面上各点处均无剪切变形，因此， 纯弯时梁的横截面上不存在剪应力；依据平面假设， 梁弯曲时部分纤维伸长， 部分纤维缩短， 由伸长区到缩短区，其间必存在一长度不变的过渡层，称为中性层，如图 8.2c 所示；中性层与横截面的交线称为中性轴；对于具有对称截面的梁， 在平面弯曲的情形下， 由于荷载及梁的变形都对称于纵向对称面，因而中性轴必与截面的对称轴垂直；综上所述， 纯弯
4、曲时梁的全部横截面保持平面， 仍与变弯后的梁轴正交， 并绕中性轴作相对转动，而全部纵向纤维就均处于单向受力状态；从梁中截取一微段 dx，取梁横截面的对称轴为y 轴，且向下为正，如图 8.3 b 所示，以中性轴为y 轴，但中性轴的准确位置尚待确定；依据平面假设，变形前相距为 dx 的两个横截面， 变形后各自绕中性轴相对旋转了一个角度 d，并仍保持为平面；中性层的曲率半径为，因中性层在梁弯曲后的长度不变，所以o1o2ddx又坐标为 y 的纵向纤维 ab 变形前的长度为abdxd变形后为abyd故其纵向线应变为y ddy d（ a）可见，纵向纤维的线应变与纤维的坐标y 成正比；2、物理关系由于纵向纤
5、维之间无正应力，每一纤维都处于单向受力状态，当应力小于比例极限时，由胡克定律知E将a 式代入上式，得E yb这就是横截面上正应力变化规律的表达式；由此可知，横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离成正比，而在 距中性轴为 y 的同一横线上各点处的正应力均相等，这一变化规律可由图 8.4 来表示；3、静力学关系以上已得到正应力的分布规律，但由于中性轴的位置与中性层曲率半径的大小均尚未确定，所以仍不能确定正应力的大小；这些问题需再从静力学关系来解决；如图 8.5 所示，横截面上各点处的法向微力dA 组成一空间平行力系，而且由于横截面上没有轴力，仅存在位于x-y 平面的弯矩 M，因此，F NAd
6、A0cM yAz dA0dM zAy dA0e以式 b 代入式 c ，得AdAEAydA0f上式中的积分代表截面对z 轴的静矩 Sz；静距等于零意味着 z 轴必需通过截面的形心； 以式 b 代入式d ，得AdAEAyzdA0g式中，积分是横截面对示上式是自然满意的；以式 b 代入式 e ，得y 和 z 轴的惯性积；由于y 轴是截面的对称轴，必定有I yz =0, 所MAy dAEAy 2 dA（h）式中积分y2dAAIZ（ i ）是横截面对 z 轴（中性轴）的惯性矩；于是，h 式可以写成1MEI z（ 8.1 ）此式说明，在指定的横截面处，中性层的曲率与该截面上的弯矩比；在同样的弯矩作用下，E
7、I Z愈大，就曲率愈小，即梁愈不易变形，故度；M成正比，与EI z 成反EIz 称为梁的抗弯刚再将式 8.1代入式 b,于是得横截面上 y 处的正应力为M y（ 8.2 ）I z此式即为纯弯曲正应力的运算公式；式中 M 为横截面上的弯矩；I z 为截面对中性轴的惯性矩；y 为所求应力点至中性轴的距离；当弯矩为正时，梁下部纤维伸长，故产生拉应力，上部纤维缩短而产生压应力；弯矩为负时，就与上相反；在利用（8.2 ）式运算正应力时，可以不考虑式中弯矩M和 y 的正负号，均以肯定值代入，正应力是拉应力仍是压应力可以由梁的变形来判定；应当指出， 以上公式虽然是纯弯曲的情形下，以矩形梁为例建立的， 但对于
8、具有纵向对称面的其他截面形式的梁，如工字形、T 字形和圆形截面梁等仍旧可以使用；同时，在实际工程多数受横向力作用的梁，横截面上都存在剪力和弯矩，但对一般瘦长梁来说， 剪力的存在对正应力分布规律的影响很小；因此，（ 8.2 ）式也适用于非纯弯曲情形；8.1.2 最大弯曲正应力由式 8.2可知，在 y=y max 即横截在由离中性轴最远的各点处，弯曲正应力最大，其值为maxMymaxI zMI zymax式中，比值 I z/y max仅与截面的外形与尺寸有关，称为抗弯截面系数， 也叫抗弯截面模量；用 Wz 表示；即为WI zzym ax（ 8.3 ）于是，最大弯曲正应力即为Mmax（ 8.4 ）W
9、z可见， 最大弯曲正应力与弯矩成正比，与抗弯截面系数成反比； 抗弯截面系数综合反映了横截面的外形与尺寸对弯曲正应力的影响；图 8.6 中矩形截面与圆形截面的抗弯截面系数分别为bh 2Wz8.56d 3Wz8.632而空心圆截面的抗弯截面系数就为4D 3Wz1328.7式中 =d/D，代表、外径的比值；至于各种型钢截面的抗弯截面系数，可从型钢规格表中查得（见附录）；例 8.1图 8.7 所示悬臂梁， 自由端承担集中荷载F 作用，已知：h=18cm，b=12cm，y=6cm，a=2m， F=1.5KN；运算 A 截面上 K 点的弯曲正应力；解先运算截面上的弯矩M AFa1.523kNm截面对中性轴
10、的惯性矩bh3I Z12120180 3125.83210 7 mm4k就M A y31067603.09MPaI Z5.83210A 截面上的弯矩为负， K 点是在中性轴的上边，所以为拉应力；8.2 平面图形的几何性质构件在外力作用下产生的应力和变形，都与构件的截面的外形和尺寸有关；反映截面外形和尺寸的某些性质的一些量，如拉伸时遇到的截面面积、扭转时遇到的极惯性矩和这一章 前面遇到的惯性矩、抗弯截面系数等，统称为截面的几何性质；为了运算弯曲应力和变形，需要知道截面的一些几何性质；现在来争论截面的一些主要的几何性质；8.2.1 形心和静矩如截面形心得坐标为y C和 zC（ C 为截面形心） ，
11、将面积得每一部分看成平行力系，即看成等厚、均质薄板的重力，依据合力矩定理可得形心坐标公式zdACzAA, yCydAAA（ a）静矩又称面积矩；其定义如下，在图8.8 中任意截面取一点M（ z,y ） , 环绕 M点取一微面积 dA，微面积对分别为：z 轴的静矩为 ydA，对 y 轴的静矩为zdA，就整个截面对 z 和 y 轴的静矩S zAydAbS yAzdA有形心坐标公式AydAAyCzdAAzCA知：SzAydAAyCcSyzdAAAzC上式中 y C和 zC 是截面形心 C 的坐标， A 是截面面积； 当截面形心的位置已知时可以用上式来运算截面的静矩；从上面可知， 同一截面对不同轴的静
12、矩不同，静矩可以是正负或是零；静矩的单位是长度的立方，用m 或 cm 、 mm等表示；当坐标轴过形心时，截面对该轴的静矩为零；333当截面由几个规章图形组合而成时，代数和；其表达式为截面对某轴的静矩，应等于各个图形对该轴静矩的nSzAi yidi 1nSyAi ziei 1而截面形心坐标公式也可以写成zCAi yiAifyCAi zigAi8.2.2 惯性矩、惯性积和平行移轴定理2在图 8.8 中任意截面上选取一微面积dA，就微面积dA 对 z 轴和 y 轴的惯性矩为 z dA2和 Y dA；就整个面积对 z 轴和 y 轴的惯性矩分别记为I z 和 I y，而惯性积记为 I zy ，就定义：zIy2 dA,AyIz2 dAAhI zyzydAAi极惯性矩定义为 ：I2 dAA z2Ay2 dAIIjzy从上面可以看出，惯性矩总是大于零，由于坐标的平方总是正数，惯性积可以是正、负4和零；惯性矩、惯性积和极惯性
