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1、.第8章梁的弯曲应力梁在荷载作用下, 横截面上一般都有弯矩和剪力,相应地在梁的横截面上有正应力和剪 应力; 弯矩是垂直于横截面的分布力的合力偶矩;而剪力是切于横截面的分布力的合力;所以,弯矩只与横截面上的正应力相关,而剪力只与剪应力相关;本章争论正应力和剪 应力的分布规律, 从而对平面弯曲梁的强度进行运算;并简要介绍一点的应力状态和强度 理论;8.1 梁的弯曲正应力平面弯曲情形下, 一般梁横截面上既有弯矩又有剪力,如图8.1 所示梁的 AC、DB段;而在 CD段,梁横截面上剪力等于零,而只有弯矩, 这种情形称为纯弯曲; 下面推导梁纯弯曲时横截面上的正应力公式;应综合考虑变形几何关系、物理关系和
2、静力学关系等三个方面;8.1.1 弯曲正应力一般公式1、变形几何关系为争论梁弯曲时的变形规律,可通过试 验,观看弯曲变形的现象; 取一具有对称截面的矩形截面梁, 在其中段的侧面上, 画两条垂直于梁轴线的横线mm和 nn,再在两横线间靠 近上、下边缘处画两条纵线ab 和 cd,如图8.2a所示;然后按图8.1a所示施加荷载,使梁的中段处于纯弯曲状态;从试验中可以观看到图 8 .2b情形:( 1)梁表面的横线仍为直线, 仍与纵线正交, 只是横线间作相对转动;( 2)纵线变为曲线,而且靠近梁顶面的纵线缩短,靠近梁底面的纵线伸长;( 3)在纵线伸长区,梁的宽度减小,而在纵线缩短区,梁的宽度就增加,情形
3、与轴向拉、压时的变形相像;依据上述现象, 对梁变形与受力作如下假设: 变形后,横截面仍保持平面,且仍与纵线正交; 同时, 梁各纵向纤维仅承担轴向拉应力或压应力;前者称为 弯曲平面假设 ;后者称为 单向受力假设 ;.依据平面假设, 横截面上各点处均无剪切变形,因此, 纯弯时梁的横截面上不存在剪应力;依据平面假设, 梁弯曲时部分纤维伸长, 部分纤维缩短, 由伸长区到缩短区,其间必存在一长度不变的过渡层,称为中性层,如图 8.2c 所示;中性层与横截面的交线称为中性轴;对于具有对称截面的梁, 在平面弯曲的情形下, 由于荷载及梁的变形都对称于纵向对称面,因而中性轴必与截面的对称轴垂直;综上所述, 纯弯
4、曲时梁的全部横截面保持平面, 仍与变弯后的梁轴正交, 并绕中性轴作相对转动,而全部纵向纤维就均处于单向受力状态;从梁中截取一微段 dx,取梁横截面的对称轴为y 轴,且向下为正,如图 8.3 b 所示,以中性轴为y 轴,但中性轴的准确位置尚待确定;依据平面假设,变形前相距为 dx 的两个横截面, 变形后各自绕中性轴相对旋转了一个角度 d,并仍保持为平面;中性层的曲率半径为,因中性层在梁弯曲后的长度不变,所以o1o2ddx又坐标为 y 的纵向纤维 ab 变形前的长度为abdxd变形后为abyd故其纵向线应变为y ddy d( a)可见,纵向纤维的线应变与纤维的坐标y 成正比;2、物理关系由于纵向纤
5、维之间无正应力,每一纤维都处于单向受力状态,当应力小于比例极限时,由胡克定律知E将a 式代入上式,得E yb这就是横截面上正应力变化规律的表达式;由此可知,横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离成正比,而在 距中性轴为 y 的同一横线上各点处的正应力均相等,这一变化规律可由图 8.4 来表示;3、静力学关系以上已得到正应力的分布规律,但由于中性轴的位置与中性层曲率半径的大小均尚未确定,所以仍不能确定正应力的大小;这些问题需再从静力学关系来解决;如图 8.5 所示,横截面上各点处的法向微力dA 组成一空间平行力系,而且由于横截面上没有轴力,仅存在位于x-y 平面的弯矩 M,因此,F NAd
6、A0cM yAz dA0dM zAy dA0e以式 b 代入式 c ,得AdAEAydA0f上式中的积分代表截面对z 轴的静矩 Sz;静距等于零意味着 z 轴必需通过截面的形心; 以式 b 代入式d ,得AdAEAyzdA0g式中,积分是横截面对示上式是自然满意的;以式 b 代入式 e ,得y 和 z 轴的惯性积;由于y 轴是截面的对称轴,必定有I yz =0, 所MAy dAEAy 2 dA(h)式中积分y2dAAIZ( i )是横截面对 z 轴(中性轴)的惯性矩;于是,h 式可以写成1MEI z( 8.1 )此式说明,在指定的横截面处,中性层的曲率与该截面上的弯矩比;在同样的弯矩作用下,E
7、I Z愈大,就曲率愈小,即梁愈不易变形,故度;M成正比,与EI z 成反EIz 称为梁的抗弯刚再将式 8.1代入式 b,于是得横截面上 y 处的正应力为M y( 8.2 )I z此式即为纯弯曲正应力的运算公式;式中 M 为横截面上的弯矩;I z 为截面对中性轴的惯性矩;y 为所求应力点至中性轴的距离;当弯矩为正时,梁下部纤维伸长,故产生拉应力,上部纤维缩短而产生压应力;弯矩为负时,就与上相反;在利用(8.2 )式运算正应力时,可以不考虑式中弯矩M和 y 的正负号,均以肯定值代入,正应力是拉应力仍是压应力可以由梁的变形来判定;应当指出, 以上公式虽然是纯弯曲的情形下,以矩形梁为例建立的, 但对于
8、具有纵向对称面的其他截面形式的梁,如工字形、T 字形和圆形截面梁等仍旧可以使用;同时,在实际工程多数受横向力作用的梁,横截面上都存在剪力和弯矩,但对一般瘦长梁来说, 剪力的存在对正应力分布规律的影响很小;因此,( 8.2 )式也适用于非纯弯曲情形;8.1.2 最大弯曲正应力由式 8.2可知,在 y=y max 即横截在由离中性轴最远的各点处,弯曲正应力最大,其值为maxMymaxI zMI zymax式中,比值 I z/y max仅与截面的外形与尺寸有关,称为抗弯截面系数, 也叫抗弯截面模量;用 Wz 表示;即为WI zzym ax( 8.3 )于是,最大弯曲正应力即为Mmax( 8.4 )W
9、z可见, 最大弯曲正应力与弯矩成正比,与抗弯截面系数成反比; 抗弯截面系数综合反映了横截面的外形与尺寸对弯曲正应力的影响;图 8.6 中矩形截面与圆形截面的抗弯截面系数分别为bh 2Wz8.56d 3Wz8.632而空心圆截面的抗弯截面系数就为4D 3Wz1328.7式中 =d/D,代表、外径的比值;至于各种型钢截面的抗弯截面系数,可从型钢规格表中查得(见附录);例 8.1图 8.7 所示悬臂梁, 自由端承担集中荷载F 作用,已知:h=18cm,b=12cm,y=6cm,a=2m, F=1.5KN;运算 A 截面上 K 点的弯曲正应力;解先运算截面上的弯矩M AFa1.523kNm截面对中性轴
10、的惯性矩bh3I Z12120180 3125.83210 7 mm4k就M A y31067603.09MPaI Z5.83210A 截面上的弯矩为负, K 点是在中性轴的上边,所以为拉应力;8.2 平面图形的几何性质构件在外力作用下产生的应力和变形,都与构件的截面的外形和尺寸有关;反映截面外形和尺寸的某些性质的一些量,如拉伸时遇到的截面面积、扭转时遇到的极惯性矩和这一章 前面遇到的惯性矩、抗弯截面系数等,统称为截面的几何性质;为了运算弯曲应力和变形,需要知道截面的一些几何性质;现在来争论截面的一些主要的几何性质;8.2.1 形心和静矩如截面形心得坐标为y C和 zC( C 为截面形心) ,
11、将面积得每一部分看成平行力系,即看成等厚、均质薄板的重力,依据合力矩定理可得形心坐标公式zdACzAA, yCydAAA( a)静矩又称面积矩;其定义如下,在图8.8 中任意截面取一点M( z,y ) , 环绕 M点取一微面积 dA,微面积对分别为:z 轴的静矩为 ydA,对 y 轴的静矩为zdA,就整个截面对 z 和 y 轴的静矩S zAydAbS yAzdA有形心坐标公式AydAAyCzdAAzCA知:SzAydAAyCcSyzdAAAzC上式中 y C和 zC 是截面形心 C 的坐标, A 是截面面积; 当截面形心的位置已知时可以用上式来运算截面的静矩;从上面可知, 同一截面对不同轴的静
12、矩不同,静矩可以是正负或是零;静矩的单位是长度的立方,用m 或 cm 、 mm等表示;当坐标轴过形心时,截面对该轴的静矩为零;333当截面由几个规章图形组合而成时,代数和;其表达式为截面对某轴的静矩,应等于各个图形对该轴静矩的nSzAi yidi 1nSyAi ziei 1而截面形心坐标公式也可以写成zCAi yiAifyCAi zigAi8.2.2 惯性矩、惯性积和平行移轴定理2在图 8.8 中任意截面上选取一微面积dA,就微面积dA 对 z 轴和 y 轴的惯性矩为 z dA2和 Y dA;就整个面积对 z 轴和 y 轴的惯性矩分别记为I z 和 I y,而惯性积记为 I zy ,就定义:zIy2 dA,AyIz2 dAAhI zyzydAAi极惯性矩定义为 :I2 dAA z2Ay2 dAIIjzy从上面可以看出,惯性矩总是大于零,由于坐标的平方总是正数,惯性积可以是正、负4和零;惯性矩、惯性积和极惯性