5-1-1-2.算式谜（二）数字谜从形式上可以分为横式数字谜与竖式数字谜，从运算法则上可以分为加减乘除四种形式的数字谜 横式与竖式亦可以互相转换，本讲中将主要介绍数字谜的一般解题技巧主要横式数字谜问题，因此，会需 要利用数论的简单奇偶性等知识解决数字谜问题—、基本概念填算符：指在一些数之间的适当地方填上适当的运算符号（包括括号），从而使这些数和运算符号构成的算式 成为一个等式算符：指 +、・、X、三、（）、［］、{ }o二、 解决巧填算符的基本方法（1） 凑数法：根据所给的数，凑出一个与结果比较接近的数，再对算式中剩下的数字作适当的增加或减少， 从而使等式成立2） 逆推法：常是从算式的最后一个数字开始，逐步向前推想，从而得到等式三、 奇数和偶数的简单性质（-）定义：整数可以分为奇数和偶数两类（1） 我们把1, 3, 5, 7, 9和个位数字是1, 3, 5, 7, 9的数叫奇数.（2） 把0, 2, 4, 6, 8和个位数是0, 2, 4, 6, 8的数叫偶数.（二）性质： ①奇数刮禺数.② 整数的加法有以下性质：奇数+奇数二偶数；奇数+偶数二奇数；偶数+偶数二偶数.③ 整数的减法有以下性质：奇数.奇数二偶数；奇数■偶数二奇数；偶数■奇数二奇数；偶数■偶数二偶数.④ 整数的乘法有以下性质：奇数x奇数二奇数；奇数x偶数=偶数；偶数X偶数二偶数.模块一、填横式数字谜【例1】将数字1~9填入下面方框，每个数字恰用一次，使得下列等式成立； （□□□□ + 2）-4 + □□- = 2007现在“2”、“4”已经填入，当把其它数字都填入后，算式中唯一 的减数（★处）是 ・【考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜 【难度】4星 【题型】填空【关键词】迎春杯，高年级，初赛，3试题【解析】方法一：首先可以估算四位数的取值范围：四位数不大于（2007 + 9-13）x4-2 = 8010 ,不小于 （2007+ 1- 9^x 4- X 763.显然四位数的千位数字只能是7 .再由四位数与2的和能被4整除， 可以确定四位数的个位数字一定是偶数，只能是6或8.若为6,由个位是8而能被4整除的数其十 位数字是偶数，可知四位数只能为7986 ,而（7986+ 2）一4 = 1997,故只需利用剩下的数凑出10即 可.剩下的数字是I, 3, 5,不能凑出10.所以四位数的个位数字不是6.四位数的个位数字是8 时，由个位是0而能被4整除的数其十位数字是偶数，故四位数的十位数字是1、3、7或9.当四 位数的十位数字是1时，四位数只可能是7918 ,而（7918 + 2）-4=1980 ,故只需利用剩下的数凑出 27即可.剩下的数字是3, 5, 6,不能凑出27;当四位数的十位数字是3时，四位数只可能是7938 , 而（7938 + 2）-4 = 1985,故只需利用用剩下的数凑出22即可.剩下的数字是1, 5, 6,不能凑出22; 当四位数的十位数字是5时，四位数只可能是7658或7958,若为7958,则由（7958+ 2）4-4 = 1990 , 需利用剩下的数凑出17即可.剩下的数字是1 , 3, 6,不能凑出17;若为7658,有 （76581- ” 牛9 3-七2（;当四位数的十位数字是9时，四位数只可能是7698 ,而 （7968 ）2一 4 1<,故只需利用剩下的数凑出82即可.剩下的数字是3, 5, 6,不能凑出82;故 此题只有惟一答案：（7658 + 2）一4 + 93-1 = 2007・算式中唯一的减数是1.方法二：根据弃九法，7口口口+2+4+口口+★被9整除，而（7口口口+2）一4+口口-★也被9整除。
所以，后一 式乘以4得到7口口口+2+4乂口口・4><★被9整除，减去前一式得到3>
【例3】1〜9这九个数字分别填入下面算式的空格中，每个空格只许填一个数字，使算式成立：□ □ 口4•口 = □ □十口【考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜 【难度】4星 【题型】填空【解析】由于三个算式都是两位数除以一位数，所以考虑起来比较困难.(1)如果1出现在被除数的十位，则每个算式的商最小为2,最大为9.为了叙述方便，将方格内先填上字母：［a1［b］^［c］=［d］［］^［7|=［g］［h］^［71① 若国国十［?］=［5|国+［7］=冋［77］十［7］ = 2,则三个算式中a=d=g=i,出现重复数字, 所以三个算式的商不可能都为2.② 国国+囘=0］国丙冈十|7| = 3,则三个算式中的A、D、G必为1和2, 也岀现重复数字，所以三个算式的商不可能都为3.③ 国回子叵］=回国十国=叵］回子因=4,则三个算式中的A、D、G为1、2和3, 12^3=4 24^6=4 32^8=4 16^4=4 28^7=4 36^9=4若第一个算式为E冈一冋,则D与G都不能为2,只能为3,出现重复数字，因此第一个算式为阴一园，由于4与6都已用过，所以第二个算式不可能为・同，便为亟一回，这时剩下3、5、9三个数字没有用过，而这三个数字无法组成商为4的除法算式，因此三个算式的商不可能都为4.④三个算式的商不可能都为5,否则会出现B = E=H=5,或B、E、H中有为0的，而我们所使用的数字中不包括0.⑤ 若囚国一回=同国一因=冋回一因=6, 18三3=6 42三7=6 54^9 = 6由于在这三个算式的被除数与除数部分，4重复出现，因此三个算式的商不可能都为6.⑥ 若国固十叵］=回国十国=叵］回十因=7,144-2 = 7 214-3 = 7 28^4=7 42壬6=7,49—7 = 7 56三8 = 7 63三9=7由于找不到三个左边数字不重复出现的式子，因此三个算式的商不可能都为7.⑦若丽相二同国丽二冋面则=816^2 = 8 24^3 = 8 32^4 = 8 564-7 = 8 64^8 = 8 72^9 = 8由于找不到三个左边数字不重复岀现的式子，因此三个算式的商不可能都为8. ⑧若国国十叵］=回回十匡］=叵］回十因=918^2 = 9 27三3=9 36三4=9 54三6=9 63 三7 = 9 722=9 81^9=9由于找不到三个左边数字不重复出现的式子，因此三个算式的商不可能都为9. (2)如果1出现在被除数的个位，则商为3、7、9、13、17、27.①若丽］十0=［5］国十因=冋面十［7］=3,21〜7 = 3剩下3、4、5、6、8、9这六个数字，不可能组成被除数是两位数， 除数是一位数且商为3的除法算式，因此这三个算式的商不可能都为3. (^)若同冈十冋=同国十同=冋面十［7］ = 7, 21*3 = 7 562=7 4X7 = 7 便有叵冋一母=豳十凰=回回十厅| = 7()若同冈十冋=同国十同=冋面十［7］ = 9, 81=9 = 9 54—6=9 27=3 = 9 便有冈厅］十冋=同间十同=風花| = 9④若巫十叵］=回国一因=叵］回一因=1391—7=13 52^4=13,还剩3、6、8三个数字，不可能组成商为13的除法算式. 因此三个算式的商不可能都为13.⑤ 若囚直］十叵］=回回一国=叵1回一因=17 , 51〜3= 17 68三4= 17,还剩2、7、9三个数字，不可能组成商为17的除法算式.因此三个算式的商不可能都为17.⑥ 若 区|国♦叵|=回回♦匡］=叵］回 *因=27 , 81^3 = 2754三2 = 27, 还剩6、7、9三个数字，不可能组成商为27的除法算式.因此三个算式的商不可能全为27.(3) 如果1出现在除数部分，则商为23〜29和32,经试验无一成立.解即U冋二丽一園=间回一冋,雨-冋二兩凋=丽-回【答案】回[族囘二国同一園=回回一也],冋冈十冋=同间一同=丽・回模块二、填横式数字谜综合【例4]将1〜9分别填入下面算式的中□xD=5D回+□=□+□使每个算式都成立，其中1, 2, 5已填出.【考点】填横式数字谜之整除性质 【难度】4星 【题型】填空【解析】①审题.本题由两个算式构成，题目中给了三个数字.由题目可见，第一个算式的要求比较高.② 选择解题的突破口.填出第一式是解决这道题的关键.③ 确定各□中的数字，观察题目发现，满足第一个算式的只有7x8=56和6x9 = 54.如果第一式填7x8 = 56,则剩下的数是3, 4, 9.无论怎样把它们填入第二式，都不能满足.所以这种填法不行.如果第 一式填6x9 = 54,则剩下的数是3, 7, 8.可以这样填入第二式，即：12 +母=冈+園本题的答案是:固x回=5回12 +回=冋+囿【答案】【例51下题是由1〜9这九个数字组成的算式，其中有一个数字已经知道，请将其余的数字填入空格，使算式成立:□xD=5D□□^□xn=a【考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜 【难度】4星 【题型】填空【解析】由于第一个算式中已经知道了一个数字，所以选择第一个算式作为解题的突破口.由于同x@j=5[U，叵]x園=5同，所以第一个算式只有这两种情况。
现在看第二个算式，为了叙述方便，先将第二个算式的空格内填上字母： 丽皿x[5|=国 由于第二个算式的结杲为一位数，所以第二个算式中囚国一叵]的商必为一位数，且不为1.① 若第一个算式为同乂回=5回，则还剩1、2、3、7、8这五个数字，因此D为1或2.若D=l,则还剩2、3、7、8这四个数字，无论怎样填，也都无法使算式[7]国十囘x[T]=国成立. 若D = 2,则还剩1、3、7、8这四个数字，无论怎样填，都不能使算式[H[b]^|c]x[2]=|e|成立. 因此第一个算式不可能为同x]=5回② 若第一个算式为也]x園=5同，则还剩1、2、3、4、9这五个数字，D可能为1、2或3.若D=l,还剩下2、3、4、9这四个数字，无论怎样填，都无法使算式囚国十叵国成立. 若D = 2,则还剩1、3、4、9这四个数字，无论怎样填，都无法使算式[H[b]。