暑假专题——直线的位置关系

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1、暑期专题直线的位置关系lilk课标定位【明确学习目标，高效学习，有的放矢】一、考点突破本讲主要学习平面中两条直线的位苴关系，具体要求如下：1. 了解平面中两条直线的儿种位置关系。2. 掌握对顶角相等的性质及等角的余角相等，等角的补角相等的性质。3. 理解垂线段最短的性质。4. 掌握用三角尺或量角溶过一点画一条巳知直线的垂线。5. 探索出平行线的判定方法，掌握平行线的性质，综合运用平行线的判定方法和性质解决问题。中考要求本讲内容是中考的常考内容。本部分知识是平面几何的基础知识，基本概念、性质较多，在整个 初中数学中所占的分量较轻，但却是后继知识学习的基础。对本单元知识的考查以基本题型为主，如 填

2、空题、选择题和简单的解答题，试题难度不会太大。二、重难点提示重点：两角互余、互补的关系；点到直线的距离；平行线的判定方法和性质。难点：点到直线的距离；“三线八角”的识别；平行线的判定方法和性质；儿何语言的培养。lift InOtln练sma, bai知识脉络图概念及其表示方法画法直线平行线一直线平行的条件性质相交线概念及其性质祭羿也I对顶丁概念:画法逼一速到直线的距周尺规作图一/作一个角等于己知角知识点一：余角、补角、对顶角的定义和性质要点精讲1. 余角的定义：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角。2. 补角的定义：如果两个角的和是平的，那么称这两个的互为补角。3. 对顶角的定义：如果

3、两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做 对顶角。4. 互为余角的有关性质：%1 Zl + Z2=90,则/I、/2互余；反过来，若匕1, /2互余。则Zl + Z2=90。%1 同角或等角的余角相等，如果Zl+Z2=90 , Zl + Z3=90，则匕2=匕3。5. 互为补角的有关性质：%1 若ZA+ZB = 180 ,则ZA. /B互补；反过来，若ZA. /B互补，则ZA+ZB=180 o%1 同角或等角的补角相等。如果ZA+ZC=180 , ZA+ZB=180 ,则ZB=ZC6. 对顶角的性质：对顶角相等。典例精析例题1 （长沙中考）下列四个角中，最有可能与70。

4、角互补的是（例题2如图，直线AB, CD相交于点O, OE_LAB于点O, OF平分匕AOE, Zl = 15 30,贝lj下 列结论中不正确的是（）。A. Z2 =45C. ZAOD与匕1互为补角B. Z1 = Z3D.匕1的余角等于75。30例题3 （福建泉州）如图, 则 Z AOC=o点A、0、B在同一直线上，已知ZBOC = 50,A知识点二：两条直线互相垂直要点精讲如果两条直线相交成宜角，那么这两条直线互相垂直。1. 垂直定义剖析（1）两条直线相交时，只要4个角中的一个角为直角，则这两条直线互相垂直；（2）垂直是两直线相交的特殊情形，垂直与平行都是用来描述两条直线的位置关系；（3）此

5、定义告诉我们判定两条直线垂直的基本方法，同时也给出了两条直线垂直的基本性质。 即：两条宜线相交成直角=需= 两条直线互相菱直2. 垂线段的性 质（1）“经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”中的“一点”可为直线上一点，也可为直 线外一点；（2）“有旦只有”中的“有”指垂线的存在性，“只有”是指垂线的唯一性；（3）直线外一点与直线上各点连接的所有线中，垂线段最短；（4）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。点到直线的距离是垂线段 的“长度”，是一个数量，而不是垂线段本身。要分清垂线、垂线段、点到直线的距离这三者的区别 与联系 典例精析例题1判断对错：如图，如果POPAPBPC

6、,则P0的长度就是点P到直线I的距离。（）例题2如图，刘越同学从5m的助跑线上跑过，从起跳板AB起跳，两脚分别落在CD处， 已知C点到AB的垂线段怛度是2m, D点到AB的垂线段长度是2.2m,则她的跳远距离是（）。卜CD OOA. 2mB. (2+2.1) -2mC. 2.2mD. 5m知识点三：两直线平行的判别和性质要点精讲1. 同一平面内两条百线的位置关系：相交或平行。2. “三线八角”的识别：三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而成的八个角。正确认识这 八个角要抓住同位角位置相同，即“同旁”和“同规”；内错角要抓住“内部，两旁”；同旁内角要 抓住“内部、同旁”。3. 平行线的判别（1

7、）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线是平行线。（2）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。（3）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等.那么这两条直线平行。（4）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。其中（2）、（3）、（4）这三种方法都是由角的数量关系（相等或互补）来确定直线的位置关系（平 行）的，因此能否找到两直线平行的条件，关键是能否正确地找到或识别出同位角，内错角或同旁内 角。4. 平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等。（2）两直线平行，内错角相等。（3）两直线平行，同旁内角互补。5. 平行线的性质与判定是互逆的关系。6

8、. 儿何中最基本的尺规作图之一：作一个角等于巳知角。典例精析例题1 （义乌中考）如图，已知a/b,小亮把三角板的直角顶点放在直线力上, 若4=40。，则匕2的度数为 度。 T 7 2X5. /7-i3 人 4 I_b例题 2 如图，AB/CD/EF,那么ZBAC + ZACE + ZCEF =度。例题3小刚在做卜面的数学作业时，因钢笔漏墨水，不小心将部分字迹污损了，作业搞错如下 （涂黑部分即污损部分）：已知：如图，OP平分NAOB, MNOB。试说明Zl = Z3o解：因为OP平分ZAOB,所以乂因为 MNOB,所以o故 Zl = Z3o小刚思考：污损部分应分别是以下四项中的两项：Z1 = Z

9、2； （2）Z2=Z3； Z3 = Z4；Z1 = Z4O 那么补出来的结果依次是 （填序号）。例题4己知：如图，E、F分别是AB和CD的点，DE、AF分别交BC于点G、H, A= D, 1= 2,试判断 B与 C的关系，并说明理由。lil 综台提高（nmasia. wtm.例题 1 如图，Zl + Z2=180, ZDAE=ZBCF, DA 平分ZBDFo（1）AE与FC会平行吗？说明理由。（2）AD与BC的位置关系如何？为什么？（3）BC平分ZDBE吗？为什么。例题2如图，先找到长方形纸的宽DC的中点E,将匕C过E点折起任意一个角，折痕是EF,再将/D过E点折起，使DE和CE重合，折痕是G

10、E,请探索下列问题:(1) ZFEC和NGEC互为余角吗？为什么？(2) ZGEF是直角吗？为什么？(3) 在上述折纸图形中，还有哪些互为余角？还有咖些互为补角？例题3 ( I )已知ABCD,下列各图中的ZABE. ZE. ZCDE三个角之间各有什么关系?填入下 列括号内，并选择一个你自己喜欢的图加以说明理由。C2)则：(1)图结论：(3)图结论：(II)探索规律：ABCD,则下面两图中的ZCDEi、ZEl ZE2-ZEnAB之间分别有什么关系? 写出结果，不要求说明理由。(2)(4)图结论:图结论:(5)(&)lift 提分技巧（. unw. RMB平行线的性质和判定是很重要的基础知识，它

11、们在研究三角形、四边形等图形性质时常常用到， 因此在中考试题中也经常出现，尤其是三角形性质和判定的混合应用，更有利于考查同学们的逻辑推 理能力，我们应切实掌握好。本讲内容注重加深认识和理解，领会数学思想的渗透，注意条件明确逻辑关系；准确地理解推理 论证的木质，写好证明的叙述语言；注意有关图形性质的常用规律。Hb 预习导学（自weal Bami一、预习新知1. 三角形的两边长分别是4cm和8cm.若它的周长是一个奇数，则这样的三角形的周长有 种不同的情况。2. 如图，AD是三角形的中线，现把三角形 ADC沿AD翻折，得 ADC，它和AABD交于点E,则八ACTE和左BED的而积之比为 o3. 三

12、角形中，最大角等于最小角的3倍，最大角又比另一个角大30。，则此三角形的最小角为4. 巳知一等腰三角形的腰长为5,底边长为4,底角为/L满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是第 个。（1）两条边长分别为4, 5,它们的夹角为月（2）两个角均为8,它们的夹边为4（3）三条边长分别是4, 5, 5（4）两条边长均为5, 个角是K5. 等腰三角形、线段、角都是 （轴对称、非轴对称）图形。二、问题思考1. 三角形两种分类标准的依据是什么？2. 为什么说“三角形的两边之和大于第三边” ？3. 判断两个三角形全等的条件中，至少要有一组什么样元索相等？4. 证明三角形全等时，为什么要强调“对应” ？

13、5. 如何运用“三线合一”加以证明？6. 如何设计一个关于某条直线成轴对称的图形？|而 同步罅习残域ffl （答题时间：40分钟）一、选择题1. 下面四个图形中，匕1与Z2是对顶角的图形是（）oX XA.B.C.2.如图,已知ab, 4=65 ,则Z2的度数为(A. 65B.125C. 115D. 253.己知Za=32,A. 58则匕a的补角为()。B. 68C. 148D. 1684.如图，直线a/b,点B在直线b上，11 AB LBC ,Zl=55 ,则N2的度数为(A. 35B.450C. 55D.125)o*6.下列说法正确的个数是( )o(1)两条直线相交，所成的四个角中有一个角是

14、90,那么这两条直线一定互相垂直；(2)两 条直线的交点叫垂足；(3) 直线AB_LCD,也可以说成是CD1AB；(4) 两条直线不是互相平行，就是互相垂直。A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个*7.如图所示，ZBAC=90, AD_LBC,垂足为D,则下列结论中正确的个数有()。(1) AB与AC互相垂直；(2) AC与AD互相垂直；(3) 点C到AB的垂线段是线段AB；(4) 点A到BC的距离是线段AD；(5) 线段AB的长度是点B到AC的距离;(6) 线段AB是点B到AC的距离。A. 2个B. 3个C.4个D.5个*8.如图，直线/7,将含有45。角的三角板如C的直角顶点C放在直线7上, 若4=25。,则N2的度数为()oA. 20C. 30B. 25D. 351二、填空题9. 如图，由相同的小正方形组成的网格中，直线AB与 垂直。