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1、暑期生活专题1因式分解的方法与技巧我们已知学过了因式分解的一些常用方法：提公因式法，分组分解法，运用公式法，十 字相乘法以及余数定理的简单应用等等。有时，我们不能直接运用一种方法分解某个多项式，而必须对这个多项式各项的特点与 相互联系(如符号、系数、指数等)进行仔细观察、分析，灵活地运用以上一-种或几种方法, 必要时还需作一些技巧性的变形，以达到分解因式的目的。而在这方面加强训练，对提高代 数式变形的能力，观察、处理问题的能力都是很有帮助的。补充两个因式分解的常用方法：公式 1 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca= (a+b+c)2.(思考：a、b、c中有一个或两个改为相反数，则公式1的
2、形式如何？)公式 2 a3+b3+c3_3abc= (a+b+c) (a2+b2+c2-ab-bc_ca)(也可写成 a3+b3+c33abc= (a+b+c)(a-b)2+(b-c)+(c-a)2J)2以上公式不难从展开等号右边的式了加以验证，由公式2,又可得出以下的推论：推论 1 如果 a3+b3+c -3abc,那么 a=b=c 或 a+b+c=O.推论 2 如果 a=b=c 或 a+b+c=O,那么 a3+b3+c3=3abc例 1.分解因式a+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2.分析：显然不能直接用公式1(因为符号不满足条件)，但仔细观察、比较，不难发 现可用“拆项”的技
3、巧，把-2苗(或-2子(？或-2(?普)拆写成则分组后可利用公 式1和“平方差公式”进行分解。解：a,+bl+c，_2a2b2-2b2c2_ac2a2=(a4+b4+c4+2a2b2-2b2c2_2c2a2) -4a2b2=(a2+b2-c2) 2-4a2b2=(a2+b-c2+2ab) (a2+b2-c22ab)=(a+b) 2c2 (ab) 2_c2=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-bc)例2.分解因式x3+y3+3xy-l.分析：直接用立方差公式分解x-y3显然无用，考虑运用公式2,但与公式符号不一致 且少一个立方项，经过观察发现把-1写成+(-1)3即可。解：x3+y3
4、+3xy-l=x3+y3+ (-1) 33xy (-1)= (x+y-l) (x2+y2+l+x+y-xy)例 3.分解因式(xT)3+(x-2)3-(2x-3)3分析：可以先将(x-l)，+(x-2)3利用立方和公式进行分解，然后可提取公因式2x-3；也 可先将(x-1)3-(2x-3)3或(x-2) 3-(2x-3)用立方差公式进行分解；也可由2x-3= (x-1) + (x-2), 把(2x-3)3写成(x-l) + (x-2)3,用和的立方公式展开，原式可消去(x-1)3及(x-2)，后再进行 分解，但进一步观察特征W发现如果把-(2x7)3写成+(3-2x)3,并且注意到 (x-l)
5、 + (x-2) + (3-2x)=0，则可运用公式2的推论2得出结果。解：因为(x-l) + (x-2) + (3-2x)=0所以(x-1)3+(x-2)3-(2x-3)3= (x-1)3+(x-2)3+(3-2x)3=3(x-1)(x-2)(3-2x)例4.分解因式疽+航2+廿分析：根据各项的指数特征及相互关系，可利用拆项技巧把ak拆写成2a2b2-ajb2,创 造条件分组后运用有关公式进行分解。解:a4+a2b2+b4=(a，+2a2b2+bl) -a2b2=(a2+b2)2- (ab)2=(a2+ab+b2) (a2-ab+b2)注：木题结论在解题时也町直接运用。例 5.分解因式 a+
6、2a3b+3a2b+2ab3+b4分析：根据字母a、b的指数变化规律及系数特征进行恰当的拆项、分组。解：a,+2a3b+3a2b2+2ab3+b,=(a*+a3b+a2b2) + (ab+aV+ab) + (a2b2+ab?，+b)=a2 (a2+ab+b2) +ab (a2+ab+b2) +b2 (a2+ab+b2)= (a2+ab+b2)2注：本题中字母a、b在各项中依次为降旅和升城，特别是各项系数依次为1、2、3、2、 1,通过试探不难找出上述拆项、分组的方法。特别是当 b=l 时a+2a3+3a2+2a+l=(a+a+l)2可以系数特征“1、2、3、2、1 ”记住本题结论。例 6.分解
7、因式 9x4-3x3+7x2-3x-2分析：仔细观察指数变化及各项系数关系，可得出多种不同的关系：直接把第一、三、 五项与第二、四项分为两组;把9x，拆为7x、+2x4；把7x2拆为9x2-2x%把一2拆为-9+7；或 同时把-3x3+7x2-3x拆为-6x3+3x2-2x2+9x2-6x+3x等等，然后分组(每组每项或每组三项)，下 而提供两种解法：解一：9xl-3x3+7x2-3x-2二(9x*+9x2) -(3x+3x) -(2x2+2)=9x2 (x2+l) 3x (x2+l) -2 (x2+l)= (x2+l) (9xJ-3x2)= (x2+l) (3x-2) (3x+l)解二:9x
8、 -3x3+7x2-3x-2=(9x-3xJ-2x2) + (9x2-3x2)=x2(9x2-3x-2) +(9x-3x-2)=(9x2-3x2) (x2+1)= (3x-2) (3x+l) (x2+l)注：这两种解法都是把7/拆成9x2-2x2,但分组方法不同，从中可以体会到解题中观察 特征，发现规律的重要性和分组分解法的灵活性。例7.分解因式x+x+l分析：注意到指数的“不连贯”性，可考虑“添项”寻找出某种“规律”，再进行分组。解：x+x+l=xo+xl-x1+x3-x3+x2-x2+x+1=(x5+x4+x3) - (x4+x3+x2) + (x2+x+l)=x (x2+x+l) -x2
9、 (x2+x+l) + (x2+x+l)= (x2+x+l) (x：-x2+D注：本题“添项”后三项一组分为三组是关键的一步。因为原式中各项系数都是1,所 以所添的项系数取 1为宜，而添项后共有9项且注意到系数为-1的有三项，则容易考虑以 三项一组分组。例8.已知2x.3和3x+l都是ax +bx2+32x+15的因式,求a、b的值并分解因式。分析：易知另一因式必为x的一项式，则可用“待定系数法”，也可用余数定理得出关 于a、b的二元一次方程解得a、bo解设 ax +bx+32x+15=(2x-3)(3x+l)(px-5)a=6p,展开等号右边的代数式并比较等号两边同类项的系数，可得b=-30
10、-7p,32=35-3p解得 p=l , a=6,b=-37则 6x3-37x2+32x+1 5=(2x-3)(3x+ 1)(x-5)31解二：因为 2x-3=2(x-二),3x+l=3(x+),233把 x= ,x=-分别代入 ax+bx +32x4-15,23333a (-)3+b(-)2+32x- + 15=0e 222应得1 . 1 9 1a (一尸 +b (尸 +32 x (.)+15=03a+2b+56=0,a+3b+117=0解得 a=6,b=-37分解因式同解一。注：本题显然用待定系数法较为简便。例 9.分解因式 x +(2a+1 )x+(a；+2a-1 )x+aJ-1分析：原
11、式是按x的降幕排列，可以展开后把有关x项中系数相同的并为一组；也可以 重新整理关于a的二次三项式后运用十字相乘法解 一:x+(2a+1 )x+(a+2a-1 )x+a2-1=(x 4x )+(2ax+2ax)+(a x+aJ)-(x+1)=(x+ l)(x+2ax4-a-l)= (x+l) (xa)21= (x+l) (x+a+1) (x+a-1)解二：x3+(2a-l) x2+(a2+2a-l) x+a2-l= (x+l) a2+ (2x2+2x) a+ (x3+x2-x-1)=(x+1) a2+2x (x+1) a+ (x+1) (x2-l)= (x+l) a2+2xa+(x2-l)= (
12、x+l) (a+x+1) (a+x-1)例 10.分解因式 a2+2ab-ac_3b2+5bc_2c2分析：可以整理成以a为元的二次三项式，利用(字母系数)1 字相乘法分解，再用待定 系数法继续分解。解一:a2+2ab-ac3b2+5bc-2c2=aJ+ (2bc) a-(3b2-5bc+2c2)=a2+ (2bc) a- (3b2c) (bc)=(a+3b2c)(a-b+c)解二：因为 a2+2ab-3b2= (a+3b) (a-b)所以设 a2+2ab3b2= (a+3b) (ab)a /3b-2c=(a+3b+mc)(a-b+nc) )(a八.(b-c)等号右边展开整理后，比较等号两边对
13、应项系数，可得：m+n=l 3n-m=5mn=-2解得：m=-2,n=l因此因式分解结果为(a+3b-2c)(a-b=c)练习题1 分解因式(x-1)+(x-2)3+(2x-3)32 分解因式(x+l)4+(x2-l)2+(x-l)43 分解因式 2a(a+l)2+a4-a+l4分解因式(x+yy+xXy5 分解因式 x+2x3+4x2+2x+36 分解因式 x3-3px2+(3p2-q2)x-p(p2-q2)7 分解因式(xy+l)(x+l)(y+l)+xy8 分解因式(x +y) -4xyx +xy +y -2xy(x-xy+y)9 分解因式 x (a+1 )-xy(x-y)(a-b)+y
14、 (b+1)10 分解因式(ab+cd)(a -b +c2-d )+(ac+bd)(a 4-b -c -d )11 分解因式 xyz(x3+y3+z3)-x3y3-y z3-z3x312已知x+y-z是复项式x +axy+by2-5x+y+6的一个因式，求a、b的值并分解因式。参考答案1.第一、二项用立方和公式2.中间一项化为原式=(2x-3)(5x2-15x4-12)(X+lA(X-1)2原式=(x+l)2+ (x+1) (x-1) + (x-1)2 (x+1)2-(x+1) (x-1) + (x-1)2 = (3x2+1) (x3+3)3. 展开原式=a4+2a3+3a2+2a+l= (a
15、2+a+l)24. 原式展开整理得 2 (x4+2x3y+3x2y2+2xy3+y4) =2 (x2+xy+y2)2 或原式=x (x+y) 4-x2y2+(x4+x2yV) = (x+y) *y (x+y) 2-xy + W+xy+J) (x2-xy+y2) =2 (x2+xy+y2)25. 拆项分组原式=(x4+2x3+3x2) + (x2+2x+3) = (x2+2x+3) (x2+l)；或原式=(x4+4x2+3) + (2x3+2x) = (x2+2x+3) (x2+1)6. 原式=(x3-3px2+3p2xp2) - (q2x-pq2) = (xp) 3-q2 (x-p) = (x-p) (xp+q) (x-p-q)；或原式=(x3-p3)-(3px2-3p2x)-(q2x-pq2) =7.十字相乘法原式=(xy+1) (xy+1) +(x+y) +
