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1、第四节节复数第四节复 数考点探究挑战高考考向瞭望把脉高考双基研习面对高考双基研习面对高考基础梳理基础梳理1复数的定义义设设a，b都是实实数，形如abi的数叫做复数，其中i叫做_，满满足_，a叫做复数的实实部，b叫做复数的虚部全体复数所构成的集合叫做复数集，记记作_.2复数的分类类复数abi(a、bR)是实实数的充要条件是_；是纯纯虚数的充要条件是a0且b0；是虚数的充要条件是_虚数单单位i21Cb0.b03复数相等两个复数z1abi，z2cdi(a、b、c、dR)，则则z1z2 _.4复数的几何意义义(1)建立了直角坐标标系来表示复数的平面叫做复平面，在复平面内，x轴轴叫做实轴实轴 ，y轴轴叫
2、做虚轴轴，x轴轴的单单位是1，y轴轴的单单位是i.显显然，实轴实轴 上的点都表示实实数；除原点以外，虚轴轴上的点都表示_ac且bd纯纯虚数5共轭轭复数如果两个复数实实部相等，而虚部互为为相反数，则这则这 两个复数互为为共轭轭复数，即复数zabi的共轭轭复数为为z_.6复数的运算(1)复数的加、减法运算法则则(abi)(cdi)(ac)(bd)i.即：两个复数相加(减)就是_，_分别别相加(减)abi实实部与实实部虚部与虚部(2)复数的乘法设设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)是任意两个复数，那么它们们的积积(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.复数的乘法满满足交换换律、结结合
3、律以及乘法对对加法的分配律，即对对任意z1，z2，z3C，有：z1z2z2z1；(z1z2)z3z1(z2z3)；z1(z2z3)_z1z2z1z3.|z|2课前热身课前热身答案：1i2复数z 在复平面上对应对应 的点位于第_象限答案：一3已知0a2，复数z的实实部为为a，虚部为为1，则则|z|的取值值范围围是_答案：1考点探究挑战高考考点突破考点突破复数的有关概念例例1 13处处理有关复数概念的问题问题 ，首先要找准复数的实实部与虚部(若复数为为非标标准的代数形式，则应则应 通过过代数运算化为为代数形式)，然后根据定义义解题题【名师师点评评】(1)当复数不是abi(a、bR)的形式时时，要通
4、过变过变 形化为为abi的形式，以便确定实实部和虚部(2)求解时时，要注意实实部和虚部本身对变对变 量的要求，否则则容易产产生增根互动动探究1本例中若zm2(1i)m(3i)6i，mR，如何求解？解：z(m23m)(m2m6)i，(1)当x满满足m2m60，即m2或m3时时，z为实为实 数(2)当x满满足m2m60，即m2且m3时时，z为为虚数利用复数相等解决有关问题两个复数相等的充要条件是两个复数的实部、虚部分别对应相等，解决相关问题时，常利用复数相等的条件，构造方程组来解决例例2 2【思路分析】先确定“”两边边复数的实实部和虚部，然后列方程组组求解【名师师点评评】 利用复数相等，可实现实现
5、 复数问题问题 的实实数化，其步骤骤是：按照题设题设 条件把复数整理成其代数形式，由复数相等的充要条件列出方程组组，通过过解方程组组达到解决问题问题 的目的一般可以解决如下问题问题 ：(1)解复数方程；(2)复系数方程的有实实解问题问题 ；(3)求轨轨迹问题问题 复数的代数运算复数代数形式的运算是复数部分的重点，其基本思路就是应应用运算法则进则进 行计计算复数的加减运算类类似于实实数中的多项项式加减运算(合并同类项类项 )，复数的乘除运算是复数运算的难难点，在乘法运算中要注意i的幂幂的性质质，区分(abi)2a22abib2与(ab)2a22abb2；在除法运算中，关键键是“分母实实数化”(分
6、子、分母同乘以分母的共轭轭复数)，此时时要注意区分(abi)(abi)a2b2与(ab)(ab)a2b2，防止实实数中的相关公式与复数运算混淆，造成计计算失误误例例3 3【思路分析】 利用复数的乘法、除法等运算法则则运算【名师师点评评】复数的四则则运算类类似于多项项式的四则则运算，此时时含有虚数单单位i的看作一类类同类项类项 ，不含i的看作另一类类同类项类项，分别别合并即可，但要注意把i的幂幂写成最简单简单 的形式，在运算过过程中，要熟悉i的特点及熟练应练应 用运算技巧变变式训练训练 2计计算：方法感悟方法感悟方法技巧1数学中很多概念本身就是解题题手段和方法认认真理解复数的基本概念并运用它去解
7、题题是本章的重点和难难点2复习习本章内容，要抓住复数的分类类，掌握一个复数为实为实 数、虚数、纯纯虚数的充要条件；两个复数互为为共轭轭复数的充要条件；两个复数相等的充要条件，明确复数问题实问题实 数化是解决复数问题问题 的最基本的思想方法3复数的代数形式运算类类似于多项项式的运算，加法类类似于合并同类项类项 ，乘法类类似于多项项式乘多项项式，除法类类似于分母有理化(实实数化)，但复数运算有它独特的技巧，如i的运算规规律(1i)22i，i的立方等4技巧固然重要，但基本方法更重要，要在掌握基本方法的基础础上细细心研究各种技巧5对对于代数形式的乘方要能够够利用二项项式定理展开，对对于代数形式的开方运
8、算关键键在于熟练练求出一个复数的平方根7解答复数问题问题 ，要学会从整体的角度出发发去分析和求解(整体思想贯贯穿整个复数内容)如果遇到复数就设设zabi(a，bR)，则则有时时会给问题给问题 的解答带带来不必要的运算上的困难难，如能把握住复数的整体性质质，充分运用整体思想求解，则则能事半功倍1i21，在运算中，易写成“1”2复数的代数运算，除法运算中分子、分母同乘以分母的共轭轭复数，分母应为应为 复数的模的平方，易写成复数的模失误误防范考向瞭望把脉高考考情分析考情分析复数是高考必考的内容之一，从近几年的江苏苏高考试题统计试题统计 分析来看，对对复数的考查查固定在一个填空题题，难难度不大，以考查查复数的概念和代数运算为为主从具体的题题目分析看，主要为为复数的乘除运算预测预测 在2012年的江苏苏高考仍会有一道填空题题，考查查复数的代数运算真题透析真题透析例例 2010年高考江苏苏卷)设设复数z满满足z(23i)64i(i为为虚数单单位)，则则z的模为为_【答案】2【名师师点评评】 本题题主要考查查了复数的除法运算及复数的模，考生平时时要注意对对复数运算法则则等基础础知识识的掌握名师预测名师预测答案：2i2在复平面内，若zm2(1i)m(4i)6i所对应对应 的点在第二象限，则实则实 数m的取值值范围围是_答案：3m43设设i是虚数单单位，复数ztan45isin60，则则z2等于_
