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1、新课标高中一轮新课标高中一轮总复习总复习 第五单元第五单元 数列、推理与证明数列、推理与证明第第3434讲讲简单递推数列简单递推数列1.了解递推公式也是给出数列的一种方法，并能根据递推公式求出满足条件的项.2.掌握简单递推数列的通项公式的求法.3.熟悉递推公式模型，灵活应用求解通项及前n项和.1.已知数列an满足a1=1,an-an-1= (n2),则an= .- +1 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=( - )+( - )+( - )+1= - +1.2.已知a1=1,an= an+1,则an= . 由 = 得， = , = , = .以上各式累乘得a
2、n= = .3.数列an中,a1=1，对所有的n2都有a1a2a3an=n2,则a3+a5= . 因为a1a2a3=32,a1a2=22,所以a3= .因为a1a2a3a4a5=52,a1a2a3a4=42,所以a5= ,所以a3+a5= + = .4.(2010长郡中学)已知对任意正整数n，a1+a2+a3+an=2n-1,则a12+a22+a32+an2等于( )CA.(2n-1)2 B. (2n-1)C. (4n-1) D.4n-1 易知a1=1,当n2时,an=Sn-Sn-1=2n-1，a1也适合，故an是以2为公比的等比数列，则an2是以1为首项，以4为公比的等比数列，故S= = (
3、4n-1).5.已知a1=3,f(x)=x2,且an+1=f(an),则an= .32n-1由a1=3,a2=a12=32,a3=a22=34,知an=32n-1.常见递推数列的通项公式的求法(1)若an-an-1=f(n),求an可用 法.an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1(n2).(2)若 =f(n),求an可用 法.an= a1(n2).(3)已知a1a2an=f(n),求an,用 法 f(1) (n=1) (n2).迭加累乘an=作商(4)若an+1=f(an),求an可用 法.(5)若an+1=kan+b,则可化成(an+1+x)=k(an+x),
4、从而an+x是 数列，其中x可以由 求出.(6)若an=kan-1+bn(k,b为常数)，可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列，再求an.(7)若数列an满足a1=a,a2=b,an+2=pan+1+qan,则可化为(an+2-xan+1)=y(an+1-xan),其中x,y可用待定系数法求得,从而an+1-xan构成 数列.迭代等比待定系数法等比(8)若an+1an+pan+qan+1=0,可化成 1+ + =0,令 =bn，从而上式变成bn+1=kbn+b型.(9)已知Sn的递推关系，先求出Sn，再求an，用作差法： S1 (n=1) Sn-Sn-1 (n2).an=题型一题型一 叠加
5、、叠乘法叠加、叠乘法例1 (1)在数列an中，a1=1，an+1=an+3n2,求数列an的通项公式； (2)已知数列an满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1(n2)，求数列an的通项公式an. (1)由题意，an+1=an+3n2，a1=1，所以a2=a1+312,a3=a2+322,a4=a3+332,an-1=an-2+3(n-2)2,an=an-1+3(n-1)2，逐项相加，得an=a1+312+22+(n-1)2 =1+3 =1+ .(2)当n2时,有an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1, an+1=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1+nan,
6、 由-,得an+1-an=nan,即an+1=(n+1)an, 所以an= a2 =n(n-1)a2.由于a2=a1=1，a3=a1+2a2=3，则当n2时,an=n(n-1)(n-2)a2 =n(n-1)(n-2)3, 1 (n=1) n(n-1)(n-2)3 (n2).所以 an= 对an+1-an=f(n)型和 =g(n)型可以采用叠加或叠乘，只要叠加或叠乘后右边可以化简即可，同时要注意自变量n的取值范围.已知数列an满足a1=1,an=3n-1+an-1(n2).(1)求a2,a3;(2)证明：an= . (1)因为a1=1,所以a2=3+1=4,a3=32+4=13.(2)证明：由已
7、知an-an-1=3n-1(n2),故an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1 =3n-1+3n-2+3+1= .n=1也适合上式.所以证得an= .题型二题型二 直接转化为等差、等比数列型直接转化为等差、等比数列型例2 已知数列an,bn满足a1=2,b1=1,且an= an-1+ bn-1+1 bn= an-1+ bn-1+1(n2).(1)令cn=an+bn,求数列cn的通项公式；(2)求数列an的通项公式及前n项和公式Sn. (1)由题设得an+bn=(an-1+bn-1)+2(n2),即cn=cn-1+2(n2).易知cn是首项为a1+b1=3,公差为2
8、的等差数列,所以通项公式为cn=2n+1(nN*).(2)由题设得,an-bn= (an-1-bn-1)(n2).令dn=an-bn,则dn= dn-1(n2).易知dn是首项为a1-b1=1,公比为 的等比数列，通项公式为dn= . an+bn=2n+1 an-bn= ,解得an= +n+ .求和得Sn=- + +n+1.由 本题考查等差、等比数列的基础知识，考查基本运算能力，解答关键是将原问题转化为熟知的等差、等比数列问题求解.题型三题型三 变形、构造转化为变形、构造转化为等差、等比数列等差、等比数列例3 (1)已知数列an，其中a1=10，且当n2时，an= ，求数列an的通项公式an；
9、(2)在正项数列an中，a1=10，an+12=an3，求数列an的通项公式及前5项之和. (1)将an= 两边取倒数得 - = (n2)， 即 是以 = 为首项，以 为公差的等差数列，所以 = +(n-1) = ,即an= .n=1也适合上式.(2)因为an+12=an3，即2lgan+1=3lgan,所以 = ,即lgan是以lga1=1为首项，以 为公比的等比数列.所以lgan=1( )n-1,即an=10( )n-1,所以a1a2a3a4a5=10( )010( )110( )210( )310( )4=10( )0+( )1+( )2+( )3+( )4= . 形如an+1= ，去分
10、母后变为an+1an+pan+qan+1=0, 再化为 + =0，令 =bn，从而上式可变为bk+1=kbn+b型；形如an+1p=anq型，两边取对数，从而直接转换，但应注意大前提“为正”.题型四题型四 待定系数构造法待定系数构造法例4 已知数列an中，其中a1= ，且an+1=-2an+5，求an的前n项和Sn. 由题意，原递推式可变形为an+1+=-2(an+)，即an+1=-2an-3,与原递推式比较得=- ,所以有an+1- =-2(an- ),故数列an- 是以a1- =1为首项，-2为公比的等比数列.则an- =1(-2)n-1，即an= +(-2)n-1,所以Sn=a1+a2+
11、an= +(-2)0+ +(-2)1+ +(-2)n-1= n+= n- (-2)n+ . 待定系数法是从数列递推式特征规范、构造一个新数列，变换形式如下：(1)an+1=Aan+B(A、B为常数)型，可化为an+1+=A(an+)的形式；(2)an+1=Aan+Bcn型，可化为an+1+cn+1=A(an+cn)的形式；(3)an+2=Aan+1+Ban型，可转化为an+2+an+1=A(an+1+an)的形式；(4)an+1=Aan+Bn+C型，可化为an+1+1(n+1)+2=A(an+1n+2)的形式（其中A、B、C均为常数). 设数列an的前n项和为Sn.已知ban-2n=(b-1)
12、Sn(nN*). (1)证明：当b=2时，数列an-n2n-1是等比数列； (2)求数列an的通项公式. 由题设，得a1=2.又ban-2n=(b-1)Sn,则ban+1-2n+1=(b-1)Sn+1,两式相减，得b(an+1-an)-2n=(b-1)an+1,即an+1=ban+2n. (*) (1)证明：当b=2时，由(*)式得an+1=2an+2n,于是有an+1-(n+1)2n=2(an-n2n-1),且a1-20=10，所以an-n2n-1是以1为首项，2为公比的等比数列.(2)当b=2时，由(1)知,an=(n+1)2n-1.当b2时，由(*)式知, = + , 所以 + = (
13、+ )(nN*)， 所以 + 是以 + =1+ = 为首项， 为公比的等比数列. 所以 + = ( )n-1, 即an= (2b-2)bn-1-2n(nN*). 对于型如递推式an+1=pan+f(n) (p1,pR,f(n)为指数式）,常常转化为 =p +q，即An+1=pAn+q，然后代入复合等比数列an+1+r=p(an+r)，其中r= ，再求通项.1.一是要熟练掌握常见的递推数列的通项公式的求法.如迭加型，累乘型等.二是会将问题转化为等差、等比数列，而转化的方法在于合理构造，常用的手段有：(1)构造an+x,x为常数；(2)构造an+1-xan，x为常数；(3)构造 ;(4)构造 ;(
14、5)构造an+f(n).2.不等式与递推关系综合问题，方法与相等关系中类似，常有放缩法化归为等比数列求和或易求和型，从而证得不等式.学例1 (2009重庆卷)设a1=2，an+1= ，bn=| |，nN*，则数列bn的通项bn= .2n+1 由题意得bn+1= = =2 =2bn.且b1=4，所以数列bn是首项为4，公比为2的等比数列，则bn=42n-1=2n+1.学例2 (2009全国卷)在数列an中，a1=1,an+1=（1+ )an+ . (1)设bn= ，求数列bn的通项公式； (2)求数列an的前n项和Sn. (1)由已知得b1=a1=1,且 = + ,即bn+1=bn+ .从而b2=b1+ ,b3=b2+ , bn=bn-1+ (n2),于是bn=b1+ + + =2- (n2).又b1=1,故数列bn的通项公式为bn=2- (nN*).(2)由(1)知an=n(2- )=2n- .令Tn= ,则2Tn= .于是Tn=2Tn-Tn= - =4- .又 =n(n+1)，所以Sn=n(n+1)+ -4.本节完，谢谢聆听高考资源网，您的高考专家
