毕业论文文献综述数学与应用数学复积分的计算复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义 解析函数等方面的内容如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就 叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具由许多层面安放 在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概 念在几何上有非常直观的表示和说明对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那 么，函数在黎曼曲而上就变成单值函数黎曼曲而理论是复变函数域和儿何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析 性质和几何联系起来近来，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影 响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可 以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明导数处处不是零的解析函数所实现的映像就 都是共形映象，共形映像也叫做保角变换C共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、 静电场理论等方面都得到了广泛的应用复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。
比如物理学上 有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变 函数来解决的比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构 问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方而的问题上也做出了贡献复变函数论不但 在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论它己经深入到微 分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的 一个重要组成部分它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问 题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究 的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用复变函数作为数学的基础课，它研究的主要对象是解析函数,解析函数在理论和实践中有着广泛 的应用复变函数积分理论又是复变函数理论的重要组成部分，应用复变函数的积分理论是研究解 析函数的重要工具之一解析函数的许多重要性质要利用复积分来证明.例如，要证明“解析函数的 导函数连续”及“解析函数的各阶导数存在”这些表面上看来只与微分学有关的命题，-•般均要使 用复积分.在复变函数的积分理论中，柯西积分定理和柯西积分公式尤为重要，它们是复变函数论的 基本定理和基本公式.柯西积分定理是解析函数积分的理论基础，由柯西积分定理推出的柯西积分公 式表明，一个在区域内的解析函数可以用一个积分来表达，即解析函数在区域内任意点处的值均可 用它在边界上的值通过积分来表示出来，这说明解析函数的值与值之间是有密切联系的.用柯西积分 公式又可证明解析函数的高阶导数公式.一■个解析函数存在任意阶的导数，因而解析函数的导函数仍 然是解析函数.可以说，复变函数的微分学是建立在积分学基础之上的，这和实变函数的情形绝然不 同.因此复积分的运算具有十分重要的地位和意义本文将从不同的角度对复积分的计算方法作一探讨。
若积分所沿的积分路径是不封闭曲线，可根据积分的定义，参数方程法和牛顿一莱布尼兹公式 来进行计算若积分所沿的积分路径是封闭曲线，根据被积函数的特征，可以考虑用柯四枳分定理、柯西积 分公式、高阶求导公式或柯西留数定理来计算做题的过程中分析好积分路径与被积函数的特点，选着最合适的方法，可更快地解决问题柯西用复变函数的积分计算实积分，这是复变函数论中柯西积分定理的出发点有关柯西定理：我们知道，积分值与路径有关或无关的问题，实质上就是函数沿区域任何闭曲线的积分值是 否为零的问题.1825年，柯西得到了如下著名的柯西积分定理：定理 设./(z)在z平面上的单连通区域内解析，C为D内任意一条围线，则 /(z)Jz = O1851年，黎曼在附加条件"/(z)在内连续”的情况下，给出柯西积分定理一个简单的证明:黎曼证明:令 z = x+iy, /(z) = w(x, y) + zv(x,y),由公式 得 f(z)dz = udx - vdy + vdy + udx 由假设 f(z)在内连续，从而 ux,uy,vx,vy 在内连 续，且满足C — R条件：=vy,uv =-vv根据格林(Green )定理有 udx - vdy = 0, vdx + udy = 0,因此 /(z)Jz = 0 1900年，古莎(Goursat)在去掉广(z)在。
内连续的条件下证明了柯西积分定理，由于其证明较长，故略去不证.Morera定理即柯西积分定理的逆定理如果函数/(z)在区域D内连续，并且对于D内的任一条简单闭曲线C,我们有 f^f(z)dz = 0o那么/(z)在区域他刻画了解析函数的又一种定义.有关柯西积分公式：柯西积分公式：设区域D的边界是周线(复周线)C,函数f(z)在D内解析，在D = D + C内连续，则 = \ d^ze D)27TI J J _ z柯西积分公式是证明一系列解析函数重要性质的工具，首先是证明了圆盘上的解析函数一定可 展为慕级数，从而证明了 A. -L柯西与K.魏尔斯特拉斯关于解析函数两个定义的等价性，其次证 明了解析函数是无限次可微的，从而其实部与虚部也是无限次可微的调和函数柯西积分定理己 推广到沿同伦曲线或沿同调链积分的形式柯西积分公式在多复变函数中也有许多不同形式.有关留数定理：留数理论是复变函数论中一个重要的理论留数也叫做残数，它的定义比较复杂应用留数理 论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回 路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算, 当奇点是极点的时候，计算更加简洁。
在复分析中，留数定理是用来计算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具，也可以用来 计算实函数的积分它是柯西积分定理和柯西积分公式的推广外连续，则J"(z)dzn柯西留数定理：’J)在周线(复周线)c所围区域D内除……，&外解析，在闭域万= D + C上除ai, a2,参考文献[1] 钟玉泉.复变函数(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2004[2] 崔冬玲.复积分的计算方法.淮南师范学院学报，N0. 3. 2006.[3] 潘永亮等.复变函数国].北京：科学出版社，2004.[4] 裘冬宝.复变函数典型题.[M].西安：西安交通大学出版社,2003.[5] 余家荣.复变函数.[M]北京.人民教育出版社.1979.[6] 钟玉泉复变函数学习指导书[M].北京:高等教育出版社,2004.[7] 西安交通大学高等数学教研室复变函数（工程数学）M.北京:高等教育出版社,2001[8] 郭芳.沿闭曲线的复积分计算方法探析[M].保定师范专科学校学报,2005 N0. 4[9] 南京理工大学数学系.复变函数与积分变换[M].高等教育出版社，2006[10] 孙清华.复变函数M.武昌：华中科技大学出版社,2004 :155-200。