精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -解三角形高考大题,带答案1. （ XX17 ）（本小题满分 12 分）如图,△ ACD为等边三角形,△ ABC为等腰直角三角形,∠ ACB90 ,BD 交 AC 于 E ,AB 2 ．（Ⅰ）求 cos∠ CAE（Ⅱ）求 AE ．解 ：（ Ⅰ ） 因 为CB AC CD ,的值；∠ BCDDCE90 60 150 ,A B所以 ∠ CBE 15 ．所以 cos∠ CBEcos(45 30 )6 2． 6 分4（Ⅱ）在△ ABE 中, AB 2 ,AE 2由正弦定理 ．sin(45 15 ) sin(90 15 )故 AE12sin 30 2 26 2 ． 12 分cos15 6 242. （ XX17 ）（ 14 分）某地有三家工厂, 分别位于矩形 ABCD 的顶点 A.B 与 CD 的中点 P 处,已知 AB=20 km , BC=10 km ,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形 ABCD 的区域上（含边界） ,且 A.B与等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道 AO .BO .OP ,设排污管道的 总长为 ykm ；（1 ）按下列要求写出函数关系式：①设∠ BAO= θ(rad ),将 y 表示成 θ的函数关系式；②设 OP= x(km ),将 y 表示成 x 的函数关系式；（2 ）请你选用（ 1 ）中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度最短；D P C[解析 ]：本小题考查函数的概念.解三角形.导数等基本知识,考查数学建模能力. O抽象概括能力和解决实际问题的能力；A B（1 ）①由条件知 PQ 垂直平分 AB ,若∠ BAO= θ(rad ),就 OA 10cosAQBAO10,cos故 OBcos1 / 5第 1 页,共 5 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -又 OP10 10tan ,所以y OA OB OP10 10cos cos10 10tan所求函数关系式为 y20 10sin10 (0 )cos 4②若 OP= x (km ),就 OQ=10- x,所以 OA OB(10x)2102x2 20 x200所求函数关系式为y x 2 x220x200 (0x 10)（2 ）选择函数模型①, y 110cos cos (20 10sin )( sin ) 10(2sin 1) cos2 cos2令 y 0 得 sin 02 4 6当 (0.) 时 y 0 ,y 为 θ的减函数；当 ( . ) 时 6 6 4y 0 ,y 为 θ的增函数；所以当时, ymin620 103212 10 10 3 1010 3此时点 O 位于线段 AB 的中垂线上,且距离 AB 边3. （ XX17 ）（本小题满分 12 分）km 处；3在 △ ABC中,内角 A, B,C对边的边长分别为 a, b, c ,已知 c2 , C ．3（Ⅰ）若△ ABC的面积等于 3 ,求 a, b ；（Ⅱ）若 sin B2sinA ,求△ ABC的面积．解：（Ⅰ）由余弦定理得,a2 b 2ab 4 ,1又因为△ ABC的面积等于 3 ,所以ab sin C23 ,得 ab4 ． 4 分联立方程组a2 b2 ab 4,a解得ab 4,2 , b2 ． 6 分（Ⅱ）由正弦定理,已知条件化为b 2a , 8 分22a b ab 4, 2 3 4 3联立方程组解得 a , b ．b 2a, 3 3所以 △ ABC的面积S 1 ab sin C 2 3 ． 12 分2 34 ．（全国Ⅰ 17 ）（本小题满分 12 分）设 △ ABC的内角 A,B, C所对的边长分别为 a, b, c ,且a cos B3 , b sin A 4 ．（Ⅰ）求边长 a ；（Ⅱ）若△ ABC的面积 S10 ,求△ ABC的周长 l ．解：（ 1 ）由a cos B3 与 b sin A4 两式相除,有：2 / 5第 2 页,共 5 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -3 a cos B a cos B bcos Bcot B4 b sin A sin A bsin B b又通过a cos B3 知： cos B 0 ,就 cos B3 , sin B 4 ,5 5就 a 5 ．（2 ）由 S1 ac sin B ,得到 c 5 ． 2由 cos Ba 2 c2 b2,2 ac解得： b 2 5 ,最后 l10 2 5 ．5 ．（全国Ⅱ 17 ）（本小题满分 10 分）在 △ ABC中, cos A5 , cos B 3 ．13 5（Ⅰ）求 sin C 的值；（Ⅱ） 设 BC5 ,求 △ ABC5的面积．12解：（Ⅰ）由3cos A ,得134sin A ,13由 cos B ,得 sin 5B ． 2 分5所以 sin Csin( A B) sinA cos Bcos A sinB 16 ． 5 分65（Ⅱ）由正弦定理得AC BC sin B455 13． 8 分sin A112 3131 13 16 8所以 △ ABC的面积S BC AC 2sin C52 3 65． 10 分36. （ XX17 ）（本题满分 13 分）如图, 某住宅小区的平面图呈扇形 AOC ．小区的两个出入口设置在点 A 与点 C 处,小区里有两条笔直的小路 AD, DC ,且拐弯处的转角为 120 ．已知某人从 C 沿 CD 走到 D 用了10 分钟,从 D 沿 DA 走到 A 用了 6 分钟．若此人步行的速度为每分钟 50 米,求该扇形的半径 OA 的长（精确到 1 米）．C[解法一 ]设该扇形的半径为 r 米. 由题意,得CD =500 （米）, DA =300 （米）,∠ CDO=600A04120分22在 CDO 中, CD OD2 CD OD0cos60O2OC . 6 分3 / 5第 3 页,共 5 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -即 5002r 49002300 2 500r 3001 r 2 .2.9 分解得 r445 （米） . .13 分11[解法二 ]连接 AC ,作 OH ⊥AC ,交 AC 于 H ..2 分由题意,得 CD =500 （米）,AD =300 （米）,CDA1200.4 分在 ACD中.AC 2CD 2AD 22 CD ADcos1200C2 2 1 2500 300 2 500 300 700 .2A∴ AC =700 （米） ..6 分H120 0cosCADAC 2AD 2CD 2 11.O. .9 分2 AC AD 1411在直角 14HAO中. AH35（0米）.cosHA 0 .14∴ OAcosAHHAO490011445 （米） . 13 分2. （ XX17 ）（本小题满 13 分,（Ⅰ）小问 5 分,（Ⅱ）小问 8 分.）22设△ ABC 的内角 A, B , C 的对边分别为 a. b .c. 已知 b c（Ⅰ） A 的大小 ;a 3bc ,求：（Ⅱ） 2sinB cos Csin( B C ) 的值 .解： (Ⅰ )由余弦定理, a2 b2 c2 2bccos A.2 2 2故cos Ab c a 2bc3bc 3 .2bc 2所以A . 6(Ⅱ ) 2sinB cos Csin( B C )2sinB cosC(sin B cosCcosB sin C )sin B cosC sin( B C)cosB sin Csin( A)sin A 1 . 28. 在 △ ABC中. 内角A. B.C 对边的边长分别为a. b. c .已知 c2. C .3⑴若 △ ABC的面积等于 3 .求a. b ;4 / 5第 4 页,共 5 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -⑵若 sin Csin( B A) 2sin 2 A .求 △ ABC的面积 .。