浅谈高中数学分析和解决问题能力的组成及培养贵阳市第十一中学杨昌举摘要：数学问题是一种发现模式，找关系探寻规律，用数学符号表示 出来的一门学科，高中数学特点是要求学生能够主观能动的去学习，能够独立地 去思考，分析和解决问题，而这种分析和解决问题能力的培养，在教师教学任务 中就更加突出的表现出来，本文主要从阐述高中数学分析和解决问题能力的组成 着手，结合多年的教学经验，笔者从教学的角度出发怎样去培养学生的思维能力 和解决问题的能力谈几点刍见关键词：数学分析能力培养分析和解决问题的能力是指能对给出的材料能够阅读、理解、提炼问题核心部分，并 能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数 学问题，并能用数学语言正确地加以表述，它是逻辑思维能力、综合运算能力、空间想象能 力等基本数学能力的综合体现根据新教材高中数学《教学大纲》与《考试说明》，对高中 数学的教学提出了两点具体内容：一是在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的 考查；二是注重数学能力的考查，强调综合性；这就对高中学生学习数学的分析和解决问题 的能力提出了更高的要求，也对高中教师在教学中注重对分析和解决问题能力的培养提出了 新的思考。
一、分析和解决问题能力的组成1. 审读题能力.审读题是对题设条件和问题进行全面认识，结合所学知识，对与条件和问题有关的全 部情况进行分析研究，并把审读结果用数学语言描述出来的一个过程审读题能力是能否完 整并正确地解决问题的基础和必要条件，是反映充分理解题意、把握题目本质的一种能力， 是分析、发现隐含条件以及化简、转化已知和所求问题的一种潜在的学习能力，它是如何分 析和解决问题的前提，因此要快捷、准确的解决问题，掌握题目的结构特点，能对条件和所 求进行转化和发现隐含条件，教师则需加强对审读题能力的培养例1:某种项目的射击比赛，开始时距目标100米处射击，如果命中记3分且停止射 击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已经在150米处，此时命中记2 分且停止射击，若第二次仍未击中；还可以进行第三次射击，此时目标已在200米处，此时 命中记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分，已知射击手甲在100米处击中目标 的概率为，他的命中率与目标的距离的平方为反比，且各次射击都是相互独立的1) 求这名射手在三次射击中目标的概率；(2) 求这名射击手比赛中得分的分布列和期望本题考查的虽然是相互独立事件的概率，考查随机变量的分布列和数学期望，考查分 类讨论、化归与转化等数学思想，但要真正正确解决此题的关键在于挖掘所求和已知条件之 间的联系，要把解决问题的实际背景审读清楚，理清事件间的相互关系，这需要一定的审读 题能力，由此可见，审读题能力应是分析和解决问题能力的一个基本组成部分。
2. 合理应用数学知识.数学思想和方法解决问题的能力.高中数学知识包括定义、定理、性质和公式等内容，数学思想包括数形结合思想，函 数与方程思想，分类讨论思想及化归与转化思想等，数学方法包括待定系数法、换元法、数学归纳法、反证法、放缩法、错位相减法等，只有理解和掌握数学基本知识，准确找到数学 思想和方法，才能迅速地、便捷地、完整地解决高中数学中的一些基本问题，而合理选择和 应用知识，准确便捷地选择数学思想和方法，可使问题解决得以顺畅和简单化X — 1例 2：已知函数/(x) = - \nx (a HO)ax(1):求函数/(兀)的单调区间;(2)：当d = l时，求/(力在-,2上的最大值和最小值;(3);求证:9In—<本题主要考查了函数的单调性与最值、导数的应用以及不等式的证明；考查了分类讨 论与化归转化以及基本的运算能力和逻辑推理能力3、整体思维能力.整体思维是数学分析和解决问题能力的一种技巧，是提高解题速度的手段之一整体 处理就是在处理问题时，充分利用整体与部分的关系，通过整体运算，整体代入，整体消元, 整体合并等方法，使问题解答得已简化例3:已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在；i轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，OA + OB与“(3, -1)共线。
I )求椭圆的离心率 (II )设M为椭圆上任意一点，S.OM = WN + jl/OB (入卩€R),求证：才+ “2为定值本题考查了直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，在该题解答过程中， 若学生没有充分考虑整体运算、整体代入的方法，是不易解出该题结果的，因此整体思维能 力是数学分析和解决问题能力的又一组成部分4、数学建模能力.数学应用是数学最终价值的体现，数学应用题在数学教育中有其重要地位，它是数学 知识在非数学领域运用的一种题型，解答应用题的第一步是将实际问题转化为数学问题(建 立数学模型)，然后解决这个数学问题例4:对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:污物质量物体质量(含污物)为0. 8,要求洗完后的清洁度是0. 99,有两种方案可供选择,方案甲：一次清洗；方法乙：分两次清洗该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量v- I r\ o变为a(l
II ）若采用方案乙，当为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总 用水量最少？并讨论Q取不同数值时对最少总用水量多少的影响在该题的问题中，学生若没有一定的数学建模能力，要想正确解决此题是相当不易的, 因此，数学建模能力是分析和解决实际应用问题的重要途径和核心，是分析和解决问题能力 不可或缺的一个组成部分二、分析和解决问题能力的提高和培养K重视基础知识的教学，引导学生领悟、概括.提炼常见的数学思想和 方法扎实的知识是提高思维水平和数学能力的基础，数学的思想和方法是学习数学的根 本，数学思想蕴涵着数学知识的发生、发展和应用过程中，它是一种数学意识，属于思维的 范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决数学方法是数学思想的具体体现，具有模式化 与可操作性的特征，可以作为解题的具体手段，学生要认真地领悟、概括、提炼某一数学思 想和方法，只有掌握扎实的数学基础知识和基本技能，弄清知识系统的内在联系，以及知识 之间的交叉、渗透和综合，只有这样，才能对数学思想与方法进行概括和提炼，才能在分析 和解决问题时得心应手，只有领悟了数学思想与方法，课本的、别人的知识才会变成自己的 能力当然，每一种数学思想与方法都有它的适用的特定环境和依据的基本理论，如分类讨 论思想可以分成：（1）由概念本身需要分类，女口：指数函数：y = /（a>0且3工1）的单调 性对a的分类和直线方程中对斜率的分类等。
2）同解变形中需要分类，女口：圆锥曲线方程: mx2 + ny2 = 1中,m、n的取值讨论、解含参变量不等式解集的讨论等，又如数学方法的选择：二次函数问题常用配方法，圆锥曲线方程常用待定系数法，存在性、唯一性的命题常 用反证法等因此在教学过程中，应重视概念（数学定义）、性质、定理、公式等基础知识 的教学，并强化运用基础知识解题的训练，使学生认识一种数学思想和方法对于解决什么样 的问题最有效，从而培养和提高学生合理地、正确地应用数学思想和方法去分析和解决问题 的能力2. 加强知识运用型和综合型的解题教学，提高学生运用知识模式化的解题能力数学解题是充满模式的运用知识和模式问题是提高学生分析和解决问题的前提要培养学生运用知识（定义、性质、公式等）的能力，在教学中，教师必须创设情境，提出问 题，引导学生对数学定义、公式、定理、性质等的理解和用途，特别是数学定义的运用；在 此基础上，再循序渐进地引入适当的综合题型来巩固和强化学生运用知识和数学方法去分析 和解决问题的能力，在解题教学中，通过利用知识分析和解决问题的方法，引导学生总结、 归纳各种题型的解题模式这样学生才能有的放矢，合理运用所学的数学思想和方法去解决 各种数学问题，例如：圆锥曲线定义、几何性质以及函数单调性的判断的运用，直线与圆锥 曲线间的“虚设”点坐标，以及均值不等式的运用等是培养学生模式化解题的最好素材。
3. 适当进行开放题和新型题的训练，拓宽学生的知识面创设适当的问题情境，新颖、灵活的问题模式，让学生多角度、多方面去思考问题，寻 找合理解决问题的途径和方法，是培养和提高学生分析和解决问题能力的必要举措，对学生 进行适当开放题和新型题的训练，不但可以避免让学生去按照已学的某种固定模式去套、去 思考或者按照形成的某种特定思维定势去分析，去思维，甚至束手无策，更重要的是教师要 引导学生理解题意，揭示知识问题间的内在联系，分析和解决问题的角度、条件、办法等方 面，把教材中的有关内容视为一个发展的过程和有机的整体，让学生多角度、多方面的思考 问题，进行多种思想和方法的交锋和交融，从而让学生去想出多种不同的解法；同时，让学 生通过解题训练的教学，达到灵活运用知识，使之拓宽学生的知识面，因此，在数学教学中， 适当进行开放题和新型题的训练是提高学生分析和解决问题能力的必要补充4、重视解题教学的回顾，增强学生创新意识和创造精神解题教学包括审读与分析题意，运用知识（包括知识迁移、建立数学模式等）、表达 与推理、求出结论、回顾与反思等环节，每一环节间是相互“链接”的完整统一体，也就是 说解题教学不单纯是求得问题结果的教学，其真正目的是为了提高学生分析和解决问题的能 力，培养学生的创造精神，而这一教学目的恰恰主要通过回顾与反思解题的教学来实现。
因 此，解题教学环节中的回顾与反思就显得至关重要要达到这一目的，只有在与学生一起共 同解决问题后，引导并让学生再回过头来对解题活动加以总结与回顾，分析与研究，探讨与 反思，去从中提炼出分析和解决该问题的思想和方法，并加以掌握，使之变为自己的思维能 力教师只要持之以恒地把握解题教学的回顾与反思，久而久之，学生就能对解题的主要思 想、关键因素和同一类型问题的解法进行概括，同时对学生从解题中总结出数学思维的一般 规律和解题技巧，也有很大帮助。