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1、第二节 可别离变量的微分方程 一、一阶微分方程 二、可别离变量的微分方程及其求解 一、一阶微分方程首先，对一阶微分方程作一次概要的介绍：例 一阶微分方程：可以写成 即 也可以写成一般，一阶微分方程都具有以下三种等价形式： （1） （2） （3） 问题：如何求解一阶微分方程？难！ 问题的简化：以下几节我们只讨论几种特殊 类型的一阶微分方程：二、可别离变量的微分方程及其求解 假如一阶微分方程能化成(特点:左边只含有变量y和dy；右边只含有变量x和dx)（4）的形式，那么该一阶微分方程称为可别离变量的微分方程 什么方程是可别离变量的微分方程呢？ 形如 （5）（6）的一阶微分方程都是可分离变量的微分方
2、程。或第二步：两边积分解法：第一步：别离变量或 或 针对 和 依次为 和 的原函数，设( )H x为微分方程的解(又叫隐式通解)则 三、例题 例1 求微分方程 的通解 解 原方程是一个可别离变量的方程；分离变量 两边积分 得： 从而 （C任意常数）， 即 为所求通解。 例2 求解初值问题 解 原方程化为它是可别离变量方程分离变量 两边积分 得： 即： 记 则通解为 将 代入上式，得 故所求特解为 解 设 由题设，有 这是一个可别离变量的方程。分离变量 例3 衰变问题：已知镭的分解速度与所存镭 的质量M 成正比，已知 ，求各个时时的存镭量。 刻两边积分 ， 即 由初始条件 ，得 为所求 例4 求
3、方程 的通解。 这是一个可别离变量方程。 解 令 ，则 分离变量 两边积分 通解为 本节学习内容是： 1. 可别离变量方程的“标准型； 四、小结2. 别离变量法步骤： (1)分离变量; (2)两边积分; (3)求得隐式通解 五、重点掌握别离变量法。六、难点对某些一阶方程，寻找变量找换， 将原方程化为可别离变量方程。 七、主要题型1. 对可分离变量的一阶微分方程，求通解和特解 2. 简单的应用题八、学习方法指导 熟记“标准型”，掌握可分离变量方程的特征和一些简单的变量代换；会使用分离变量法，并要加强不定积分运算训练。九、常见问题辅导： 1.为什么在微分方程中， 和 常常通用，而不严格区分其的细微
4、之处？ 答：我们用一个例子来说明： 例 求解微分方程 的通解 解一 原方程是一个可别离变量的方程；分离变量且 两边积分 ： 得： 是任意常数； 从而: C 是任意常数， 即 为所求通解。 解二 原方程是一个可别离变量的方程；分离变量且两边积分 ： ， 得： 是任意常数 从而 C 是任意正常数 (这个表达式与解一中的表达式形式完全一样，只要在此处依然理解C是任意常数，约束 两个解便完全一致)消失，也就即 （C任意常数）为所求通解。 2.为什么有时候把积分常数C写成 、 ？ 常将C写成 或 这样， 。如果 时 也是方程的 解，那未 还是任意常数。 于是，将解直接写成 答：当积分一个微分方程出现自然
5、对数如： ） 时，十、课堂练习 1.解方程 2.解微分方程初值问题 ， 十一、课堂练习题解1.解 这是可别离变量方程；分离变量 两边积分 通解为 2.解 这是对称形式的可别离变量方程；分离变量并积分之，得 通解 将 代入，得 故特解为 十二、自测题 一、求以下微分方程的通解： 1. 2. 二、求以下微分方程的特解 1. ， 2. ， 三、（热水降温问题）设热水瓶内热水温度为T，室温为To，时间单位为小时，根据试验，热水温度降低率与 TTo成正比，求T与t的函数关系.又设 ， 时T100， T50， 问几小时后水温为95？时十三、自测题题解一、1解 这是可别离变量方程，别离变量并两边积分，得 ： 通解为 一、2解 这是可别离变量方程， 通解为 别离变量并两边积分得：二、1解 这是可别离变量方程，别离变量，两边积分得 即：将 代入得 故特解为 二、2 解 这是对称形式的可别离变量方程； 别离变量，两边积分，得故 为通解 将 代入，得 故特解为 三、解 设 ，由题设，有 这是可别离的变量方程，又将初始条件代入，可求得 故有令 时， （小时） 其通解为
