第3章导数的应用【学习目的】1.理解拉格朗日中值定理及其推论；2.掌握函数单调性的断定方法，会求函数的极值与最值；3.会用导数解决有关应用问题；4.掌握用洛必达法那么求未定式的极限的方法；5.培养学生分析问题、解决问题的才能.3.1拉格朗日中值定理及函数的单调性1.拉格朗日中值定理定理(拉格朗日中值定理)设函数()满足条件：()在闭区间，上连续；()在开区间(，)内可导；那么至少存在一点(，)，使得定理的几何意义如图3-1所示，()()表示割线的斜率，当函数()满足条件()、()时，在曲线上至少存在一点，使得曲线在该点的切线平行于割线AB.由拉格朗日中值定理可以得出下面两个重要的推论：推论假设在开区间(，)内，恒有f()，那么()在(，)内恒等于常数.证任取，(，)，且，那么()在闭区间，上满足拉格朗日中值定理的条件，即(，)由假设f()，可得()().这就是说在开区间(，)内任意两点的函数值皆相等，所以()在区间(，)内为一常数.2.函数单调性的判别法我们已经学习过函数在某区间上的单调性的概念，并掌握了用定义判断函数在区间上单调性的方法.事实上，只要根据函数()的导数在这一区间的符号，就可以断定它是单调增加还是单调减少.由图3-2可以看出，假设函数在区间，上是增函数，那么它的图像是一条沿轴正方向上升的曲线，这时曲线上各点的切线的倾斜角都是锐角，因此它们的斜率f()都是正的，即f().同样由图3-可以看出，如由以上讨论可以得到如下断定函数单调性的一般步骤：()确定函数的定义域；()求出使f()和f()不存在的点，并以这些点为分界点，将定义域分为假设干个子区间；()列表考察f()在各子区间内的符号，给出()在相应区间上的单调性.3.2函数的极值与最值1.函数的极值对于上节例2中的函数()，我们用描点法作出它的图像，如图3-4所示. 由于函数()在区间(，)内是增函数，在区间(，)内是减函数.因此，在区间(，)内任取一点，都有类似地，在区间(，)内任取一点，都有一般地，设函数()在及其左右近旁有定义，在的左、右近旁任取，假设都有 那么称()为()的一个极大值或极小值，点叫做函数()的极大值点或极小值点.由以上的讨论，可以得到求函数()极值的步骤如下：()确定函数的定义域；()求出导数f()；()求出导数f()和导数f()不存在的点；()考察f()在()中点的左、右区间的符号，确定该点是否为极值点；()求出各极值点的函数值，即得函数的全部极值.2.函数的最大值与最小值在实际问题中，常常会遇到：在一定条件下，怎样使“用料最省、“产量最大、“本钱最低、“效率最高等问题，这类问题在数学上可归结为求某一函数的最大值与最小值问题.由前面的学习可知，闭区间，上的连续函数，必获得最大值与最小值.而最大值与最小值可能在闭区间，的端点或开区间(，)内的点获得，因此，我们只要求出开区间(a，b)内的极值和端点处的函数值()、()，并比较它们的大小，就可得到函数在，上的最大值和最小值.3.3导数在经济分析中的应用1.边际函数与边际分析定义1设经济函数()在处可导，那么导数f()称为()的边际函数，记作或(). 称为()在(，)内的平均变化率，它表示()在(，)内的平均变化速度.()在点处的导数f()称为()在点处的边际函数值，也称为()在点处的变化率，它表示()在点处的变化速度.边际函数值的意义是：当时，改变一个单位，改变f()个单位.2.函数的弹性与弹性分析边际函数是函数的绝对变化率.在实际问题中，仅研究函数的绝对变化率是不够的.一般地，假设函数f(x)在x可导，那么有函数f(x)在点x的弹性EExf(x) 反映了随x的变化f(x)变化幅度的大小，也就是f(x)对x变化反响的强烈程度或灵敏度.弹性的经济意义：EExf(x0)表示在点x=x0处，当x改变1%时，f(x)改变EExf(x0)%.假设y表示市场对某商品的需求量，价格为P，那么称为该商品的需求弹性.3.4洛必达法那么假设当xa(或x)时，函数f(x)和g(x)都趋于零，或都趋于无穷大，那么极限imxaf(x)g(x)或limxf(x)g(x)可能存在、也可能不存在.通常把这种极限称为未定式.并分别简称为型或型未定式.那么有这种在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式极限值的方法，称为洛必达法那么.。