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1、学校代码 1081220070420134 数学问题浅析 学 姓 名口 期系 张海燕 2011年6月本科毕业论文（设计） 名 张海燕申请学位H 期系 别 学士学位2011年6月号 F831.5别 数学系 专 指导教师雒志江证券投资中的 数学与应用数 称数学系 指导教师 摘 为了取得利润。但收益与风险是同时存在的，业职国内图书分类号:F83L5 证券投资中的数学问题浅析 专 业数学与应用数学雒志江 职 称 副教授 要人们进行投资的H的当然是很多人选择了收益和风险都可承受的副教授吕梁学院姓证券投资。借助数学工具对证券的收益、风险等概念给出标准的量化定义，以便 对风险进行深入分析，而数学模型在金融市
2、场中具有重要作用，采用系统的数学语 言定义了证券的收益与风险特征，建立起完善的投资优化方程。数学模型应用于金 融市场的重大突破是证券投资组合模型和资本资产定价模型的出现。木文将通过 建立不同的数学模型來演示投资组合模型和资产定价模型在实际中的应用，第二章 及第四章分别为这些数学模型在证券组合定价、保险产品定价小的具体应用，在设 定收益一定的情况下求风险最小，或者在风险一定的情况下求收益最大。通过数学 模型的建立与分析，使大家了解一些基本的投资方法。通过理性分析，达到今后不 盲H投资、降低投资风险的H的.关键词：证券投资；风险；收益；数学模型ABSTRACT The purpose of inv
3、estment, of course, is to make a profit. But returns and risks exist at the same time, many people choose securities investment in which the benefits and risks are affordable. Using mathematical tools, we get the standard quantitative definition of the benefits and risks of securities so that to ana
4、lysis the risk deeply, the mathematical model plays an important role in financial markets, and it defines the characteristics of the benefits and risks of securities by using the systematic mathematical language and establishes a sound investment optimization equation. A major breakthrough of the m
5、athematical moders application in financial assets is the emergence of securities portfolio model and the capital asset pricing model. This article will set up different mathematical model to show the securities portfolio model and the capital asset pricing model that are used in real life, the chap
6、ter 2 and chapter 4 display the application of these models in portfolio model pricing and assurance goods pricing, we can seek the minimum of risks when the benefits are fixed, or seek the maximum of benefits when the risks are fixed. By establishing mathematics model and analysis, it will tell all
7、 of you some basic investment method. Through the rational analysis, it will achieve not to invest blindly in the future, and reduce the risk of investment. Keywords: Securities investment; risks; profits; mathematical model H 录 1 弓I 言 2第 1章现代投资组合理论简介5第2章基于投资组合理论的数学模型及应用52基于投资组合理论的数学模型52.2资产投资组合模型在实
8、际中的应用9第3章 资本资产定价模型（CAPM）12第477CAPM在一般保险产品定价中的应用14第5章小结 16参考文献17谢辞引言随着社会主义市场经济的不断发展，通过有价证券的投资方式逐渐受到 关注，特别是适宜于大众投资的股票，由于其极强的流通性和变现性，高收益高风 险性备受投资者青睐。证券投资成败的主要一环是对市场整体结构及儿个上市 公司发展前景的准确预测。预测的大方向主要包括基础而分析及技术而分析。基本 面分析通过对国家宏观经济政策及发展趋势，微观经济的布局结构和运行特点，银 行利率的现行水平及可能升降的趋势，消费市场的活跃程度及消费热点转移的趋势 等方面的综合分析，达到预测市场整体发
9、展趋势和上市公司经营前景的H的。技术面分析是利用一系列的数学理论，对市场行为经过加工、整理、抽象出相关的 数学模型，通过对该数学模型的分析、推断，预测市场发展的前景和运行的具体H 标、吋间周期，达到预测市场及个股短、中期运行结构的H的。准确的预测市场， 可使投资者具有稳定的投资心态，不受周边环境和市场传闻的影响，有效降低投资 风险，提高收益水平。特别，掌握其中的数学原理，正确理解技术指标的分析方向、 计算特点，将可使投资者在长期投资的过程中，抓住股价的中、短期波动，适时采 取买卖措施，赚取市场交易差价，是投资收益最大化，投资组合最优化。有效市场假说认为特定的信息集合被完全反映到证券价格中，但是
10、有效山场假说并没有 提供信息反映到证券价格中的具体形式，因此有效市场分析需要一个独立的模型来 定义信息反映到价格上的意义，这种模型就是资产定价模型。投资组合理论是资 产定价理论的基础，资产定价模型是资产定价理论的一般范式。这里简要介绍投资 组合理论和资产定价模型。现代投资组合理论简介马柯维茨的均值方差模型用数学中的均值来测量投资者的预期收益，用方差测量资产的风险，通过建立资产 组合的数学模型，使人们按照自己的偏好，精确地选择一个确定风险下能提供最大 收益的资产组合，即“偏离度的平方*概率。现代投资组合理论从投资者如何通过 多样化投资來降低风险的这一角度出发，得出了投资者构建有效投资组合的基本原
11、 则。现代投资组合理论表明，投资者的效用是关于证券投资组合的期望收益率和方 差的函数。如同消费者的效用，在此类似，就是构建了投资者的效用函数，即期望 越高，效用越大，但风险增大，又会降低这个效用。一般而言，高的收益率往往 伴随着高的风险，任何一个投资者或者在一定风险承受范围内追求尽可能高的收益 率，或者在保证一定收益率下追求风险最小。理性的投资者通过选择有效的投资组 合，以实现其期望效用最大化。在MPT下，投资组合的期望收益率只是个体投资 收益的加权平均，但是投资组合的风险并不是个体风险的加权平均，而是个体投资 的方差和协方差函数，并通过持有多种资产可以分散风险，这就是现代投资组合理 论的核心
12、。投资者可以根据自己的风险厌恶程度，通过均值一方差准则，在有效边 界上选择自己的投资组合。 图11横轴方差（风险），纵轴预期收益率 任何 资产都有收益和风险。如何求出最优的投资组合呢？马科维茨提出有效集合的理论, 即将证券资产任意组合，有无穷种组合。开口向右的曲线为可行集，即有效边界。 与垂线相切的点方差最小，是最小方差组合，此点以上为有效集，如果凹进去的不 算。（风险既定的条件下，收益是最大的。收益既定的条件下，风险是最小的。） 但是未考虑无风险资产，因此需要投资效用的无差异曲线进行选择组合的具体位置。图12投资效用最大化的风险投资组合著名的经济学家托宾（JamesTobin）引入无风险资产
13、，1958年发文，阐述对风险收益关系的理解。他指出马科维 茨模型未考虑到无风险资产和现金的欠缺。而且，风险资产有多种，有不同风险和 收益水平的债券，也有不同收益预期的股票。因此，各种风险资产在风险资产组合 中的比例与风险资产组合占全部投资的比例无关。即投资者的投资决策包括两方面: 一是将多大的资产比例放到风险资产投资中，一是投资于风险资产的资金在各种风险资产Z间如何分配。（1）资金分配，无风险资产和风险资产的资金分配；（2）资产种类的配置，投资纽合。图13横轴是风险，纵轴是收益直线表示风险资产与无风险资产进行组合得到的风险一收益关系。曲线表示几种不同风险资产的组合，曲线和曲线表示不同的风险偏好
14、。与曲线切于，称 为风险资产的最优组合。所以投资者对风险和收益的偏好状况与该投资者风险资产 组合的最优构成是无关的。引入风险资产后，改善了马柯维茨的投资组合理论。 图14横轴是风险，纵轴是收益 组合的H的是非系统性风险降到最低。除了方差 外，还需要求相关系数，即协方差。马科维茨的方法运用非常麻烦。B点，指卖空，借入将超过100%的资金，投入到风险资产中。成本是无风险利率。A点，说明 将FA/FP的资金用來投入风险资产。FP是资金量。高于P的投资吋借款卖空。资金 分配是独立的。投资者对风险和收益的偏好状况与该投资者风险资产组合的最优构 成是无关的。每一个曲线组是投资者的投资纽合无差异曲线。第2章
15、 基于投资组合理论的数学模型及应用2基于投资组合理论的数学模型I. CAPM模型有两个假设条件： 假设1：投资者对于预期收益率,标准差和风险资产相关性的预测一 致，因此，他们选择最优的方式按同样的相同比例持有风险资产。假设2:投资者的行 为通常遵循最优化原则,在均衡状态下，证券价格的调整使得半投资者持有最优投资 组合吋，毎种证券的总需求等于其总供给。2.依据投资者心理，分极端厌恶风险而 不考虑收益率大小和在一定的收益率下，风险越小越好。（1）适合前者的数学模型是：，其中 EMBED Equation.DSMT4是风险资产的协方差矩阵，是风险资产的投资比例。它的最优解为：，对应最优投资组合的投资
16、风险。（2）第二种投资者在确定投资资金分配比例时，要用到如下的马柯维茨的均值方差模型：这个模型的意义就是在取得预期收益率的条件下，使组合的风险最小。这个问 题的最优解为，对应的最小风险为，其中，.2.2资产投资组合模型在实际中的应用 假设资木金为，投资期满得收入为，则该项投资的收益率为：因为预期获得是 不确定的、随机的，所以，收益率是一个随机变量，设它的数字期望是，标准差为, 即：， 显然，的大小反映了投资收益的大小，刻划的是收益的偏差标准，可以 用来表示风险。假设有种证券，其期望收益率分别为，标准差分别为：，。如果有一笔资金，分别按比例进行投资，这里 EMBED Equation.3于是形成-种 投资组合，其期望收益率为：，种证券间有一定的关联性，设它的协方差矩阵为：
