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1、2012年河南理工大学数学建模模拟训练参赛题号：B参赛队员：1. 咼显慧2. 卢兰鑫3. 王优口期：2012 年 07 月 18 口题目最省用工方案研究与设计摘要本文解决的是“最省用工”最优组合方案的问题，冃前B劳务公司提供了五 种用工促销方案，根据制定最优组合方案。针对问题一：首先需要引入0-1规划模型，来区分不同职位的员工是否选择 不同的促销方案。若选用为1，不选用为0。并釆用LINGO软件來求解此模型。 然后针对其动态多变量的特点，建立最优规划模型。针对问题二：职位有儿百或儿千种，促销方案有儿十或儿百时，我们小组想 到了六种促销方案，将种促销方案以变量形式可以得到无穷个促销方案。进而建
2、立了数学最优规划模型针对问题三：将所给职位日单价和各职位被聘任人员数量的数据代入模型一 中，求岀最优组合方式，付款总额，每日优惠额度（如图所示）最优组合明细：为了节约用人成本，A公司和B劳务公司签订劳务合同，提出“最省用工方 案准则”。A公司只需根据“最省用工方案准则”，确定最优促销方案付款最少。 很显然，这是一个最优化模型，求最优解。针对问题一，方案需要有一定的扩展性，在聘任数量、价格、模式优惠条件 修改后，系统能自动计算出最优组合，所以在这里，需要假设职位为i的员工聘 任数量为叱，日单价为门。对于模式优惠条件的修改，则需要引入0-1规划模 型，来区分不同职位的员工是否选择不同的促销方案。针
3、对其多变量的动态特点，我们需要在每个促销方案中满足其条件，并使其 在所有促销方案中各个职位的人数达到A公司的需要，然后用MATLAB软件求 出使方案付款最小时，各个方案对应的不同职位的人数。针对问题二，“表一”职位情况，公司的聘任数量，价格都已给出，问题二 是问题一中模型的应用。所以只需将数据输入，运用问题一的模型，即可求出最 优组合方式。关键字：0-1规划模型 最优组合方式 最优规划模型 LINGO软件一、问题的重述a公司为了节约成木，和b劳务公司签订劳务合同，提dr最省用工方案准 则”，即同吋满足多个节省方案时，以节省最多为准则。冃前B劳务公司提供，1种主管职位，5种装配工职位，7种维修工
4、职位。 B劳务公司提供用工促销方案如下（计价为日工资）:1）.主模式1： 1个主管+任选1个装配工或维修工优惠20元2）.主模式2： 1个主管+任选2个装配工或维修工（可以1个装配工，1个维修工）优惠4（）元注：优惠的意思是：如单聘任，总价为各单项的和，参加模式后，付款为总 价减去优惠款。3）. 70元两人：付70元可以聘任参加“70元两人活动职位”中的两人4）. 100元两人 付100元可以聘任参加“100元两人活动职位”中的两人5）.维修工第二人半价：第一人原价，第二人半价（两人价格不一样时，只 能价格低的享受半价，高的是原价，两人可以相同）。提出问题：问题1:为了帮助B公司实现“最省用工
5、方案准则，请你给出解决该问题的一般数学 模型，在A公司提出聘任数量时，就能按要求给出最优组合方案。你的方案最 好具有一定的扩展性，在聘任数量、价格、模式优惠条件修改后，系统也能自动 计算最优组合。问题2:如果职位有几百或几千种，促销方案有几十或几百时，问题应该怎样解决？ 问题3：按“表一舛只位情况和公司聘任数量，给出方案的最优组合方式，付款总额，优 惠额度（每日），并提供最优组合明细。二、问题的分析问题一：1、在A公司提出聘任数量时，就能按要求给出最优组合方案，并且方案有 一定的扩展性，在聘任数量、价格、模式优惠条件修改后，系统也能自动计算出 最优组合。很显然，这是一个求解最优值的问题，需要建
6、立最优规划模型。A公 司要求在满足自身需要的条件下，所付聘任员工的总金额数最少，以降低成本。 因此：（1）我们可以以A公司所付聘任员工日工资总金额数作为目标函数：匸13 戶2| /=13| /=13M = EE（勺厂卩） 20 3.13 -40 2.|3 + 70牙为+100牙工n4i +/=! J=1厶 i=厶 /=!/=121=13工（心.厂门）一0 +工（石）求其最小值。i=6/=!（2）当然，在A公司提出聘任员工数量，所有被聘任员工都不参加促销方案时， A公司所付的金额数是一定值（即所有被聘任员工与各自日工资的乘积之和）, 故当所有被聘任员工中参加促销方案的总的优惠金额最大时，A公司所
7、付的金额 数最少；所以将所有被聘任员工中参加促销方案的总的优惠金额数作为目标函 数，求其最大值。在A公司提出聘任员工数量时，我们也可以将参加促销方案的总人数作为目 标函数，求其最大值。不过，由于各职位聘任员工参加哪种促销方案不知，优惠 金额数也不知，这样求岀的不一定是最好的，而且不能给出具体的最优组合明细。 考虑到这样，没有采用。2、由于问题中没有给出各职位被聘任的员工参加哪种促销方案，因此，需 要引入0-1规划模型，判断各职位被聘任的员工参加哪种促销方案，参加此促销 方案为1,否则为0。3、对于用工促销方案5）维修工第二人半价：第一人原价，第二人半价（两 人价格不一样时，只能价格低的享受半价
8、，高的是原价，两人可以相同）。根据 数据分析（1）当两人价格相同时（同种职位或不同种职位），一人是半价，相对省 钱；（2）当两人价格不同时，价格相近的两人结合，较低的一人是半价，相对省 钱。因此，首先可以用0-1规划模型计算每种职位（6.12）被聘任人员参加促销方 案5）的总人数，即模型一对促销方案5）优惠金额最大值的求解；其次，将职位 （6.12）的被聘任员工中所有参加促销方案5）的日工资按从小到大（日工资相同 的随机排列）排列成D，其各个奇数项的和即为促销方案5）的最大优惠金额。问题二：职位有几百或几千种，促销方案有几十或几百时，这仍然是问题一的推广。 只不过，促销方案不被所知，我们又假设
9、了几种促销方案，以利于更好的解决此 问题。问题三：1、表一”职位情况，公司的聘任数量，价格都己给出，问题二是问题一中模 型的应用。所以只需将数据输入，运用问题一的模型，即可求出最优组合方式。2、此问题采用问题一中的方法，以所有被聘任员工中参加促销方案的总 的优惠金额数作为冃标函数，求其最大值。冃标函数为：3、将运用问题一的模型求出的最优组合与采用问题一中（2）的方法求出的最 优组合相对照。三、模型的假设与符号说明模型的假设：假设1： B劳务公司提出的“最省用工方案准则”是合理的； 假设2：假设B劳务公司有足够的人力资源，能够满足A公司需求；假设3 :被聘任人员都服从B劳务公司提出的最优组合方案
10、；假设4：模式优黑条件修改后，其促销方案不变；假设5：假设用工促销方案是合理的。符号说明：（1）叱表示4公司所需要的职位为i的总人数；（2）兀表示不参加促销方案中职位为i所聘任员工的人数；仞=口表示职位为，的员工参加/促销方案J % 冷0,表示职位为，的员工不参加/促销方案；（4）j表示在j促销方案中所聘请i职位的人数；（5）门表示聘请i职位的日单价；（6）M表示A公司每日需要的总支付款；（7）W表示A公司所需要的职位为i的总人数的一个集合：W = %,%（8）S表示职位为6.12的被聘任人员参加促销方案5）的口工资总排列；（9）Q表示促销方案5）中优惠金额的最大值；（10）S6.S12分别表
11、示职位为6.12的被聘任人员参加促销方案5）的口工资的随 机排列；（11）D表示对S排列按从小到大的一个排列；（12）Q表示在促销方案5）所聘任员工中，日工资相等的人数为偶数时的总的优惠 金额；（13）Q2表示在促销方案5）所聘任员工中，日工资相等的人数为奇数时的总的优 惠金额；1, 表示参加促销方案5）中职位i的总人数为奇数（.=）0,表示参加促销方案5）中职位i的总人数为偶数（15）%为求余符号，等价于mod； （16）X表示不参加促销方案中职位为，所聘任员工人数的一个集合:（17）P表示聘请,职位的日单价的一个集合：P = /W2 卩3（18）直沖表示采用第种方法扩展第丿种促销方案，职位
12、为i的人数;（19）H = iyh2y.hc表示问题二中扩展后的所有职位；（20）G = b，g2，gD表示问题二中扩展后的所有促销方案；四、模型的建立与求解4.1问题一4.1.1模型一：最优规划模型对问题一：（1）不同职位的被聘任员工可能参加该促销方案，也可能不参加该促销方案， 对于参加职位i的被聘任员工不参加该促销活动，则在该该促销方案中所聘任该 职位的人数为（）在促销方案1）中所聘任的主管的总人数与聘任的任意1个装配 工或维修工的总人数相等，都等于促销方案1）采用的次数。同样，促销方案2）采用的次数也等于在促销方案2）中所聘任员工的总人数。对于促销方案3）, “70元 两人活动职位”，所
13、以采用促销方案3）的次数等于参加促销方案3）总人数的一半。 同样，促销方案4）、5）也是这样得岀模式采用的次数，从而更好地得出优惠金 额。（2）为了使B公司根据“最省用工方案准则二 为A公司提出最优组合方案。 我们以A公司所付聘任员工的总费用最少为标准，它等于所有员工按日工资计 算的总费用（不考虑参加促销方案），减去参加各个促销方案优惠的金额。所以A公司所付聘任员工的总费用最少，目标函数为：Z=13 j=2| /=13| /=13min M =工工（你厂门）20i3 一 40化3+70牙工心+ 100牙工g + /=! j=Z i=l乙 i=lz=121=13工5.厂卩）一0+工（兀门）z=6
14、z=l（3）对于促销方案5）,第一人原价，第二人半价（两人价格不一样时，只能 价格低的享受半价，高的是原价，两人可以相同），可以把所有参加促销方案5） 的员工每个人按口工资从低到高排序（口工资相同的员工，随机排序），根据数 据分析，促销方案5）中优惠金额最大值，为排序奇数项日工资和的一半。所以，职位为6.12的被聘任人员参加促销方案5）的日工资总排列S为：S = strcat（S6,.,S2）对S按从小到大的一个排列D为：D = sort（S）促销方案5）中优惠金额的最大值0为：/=12N6最优规划约束条件为:nj,i = (作=0)i=l21,13i=l j i=12 13=X/72J7 =
15、 6,7,8,9,10,11,12(/= 5);=1”丈仏为整数L /=l113+工仏为整数L /=!4.1.2对题二：1、题中将优化问题扩展化，员工的职位扩展为几百或几千种，促销方案扩展为 儿十或儿百种。对于职位的扩展，我们可以增加职位的数量，增加到H个，从 而构建优化模型。促销方案的扩展有以下儿种方法扩展：（1）几个不同职位的员工组合，优惠金额为Y；（2）几个不同职位的员工组合，只需付Z元；（3）n个不同职位的员工组合，价格最低的员工半价；（4）当总需求员工人数达到一定数量时，全部打一定的折；（5）聘请一定数量的员工，赠送一个员工协助；（6）聘请日工资高的员工，赠送一个日工资低的协助；2、方法（1）中有。个组合，组合j需要个不同职位的员工组合，使用的次数为dij，对应的优惠金额为Xj,则优惠的金额为：筑厂儿）方法（2）中有Q个组合，组合j需要个不同职位组合，使用次数为 2J，只需付勺元，则
