第一章 晶体的结构及其对称性1.5 晶体点阵和结构的分类1891年费多洛夫、熊夫利和巴罗独立地发表了完备的空间群理论由于晶格周期性的限制，晶体只具有为数不多的对称类型晶体的对称类型是由少数基本的对称操作组合而成如果不考虑平移，基本对称操作构成的群称为点群；其中点阵的点群数为7，对应7个晶系考虑到基元，晶体结构的点群数为32如果考虑平移操作，那么可以形成230种微观对称性，称为空间群群的定义在数学上，定义一组元素（有限或者无限）的集合 ，并赋予这些元素一定的乘法运算规则 如果这些元素满足如下的规则，则集合G构成一个群1. 1. 群的闭合性：群的闭合性：2. 2. 乘法的结合律乘法的结合律3. 3. 存在单位元素存在单位元素E E，使得所有元素满足：，使得所有元素满足：4. 4. 对于任意元素，存在逆元素，满足：对于任意元素，存在逆元素，满足：但除了阿贝尔群，一般群元不满足交换律：但除了阿贝尔群，一般群元不满足交换律：对称操作群-点群，空间群如果一个晶体所有的对称操作满足上述群的定义，则构成一个操作群乘法运算就是连续操作单位元素就是不动操作逆元素就是转角和平移矢量大小相等、方向相反的操作i的逆元素还是自己i晶体的所有操作包括平移操作（t）和点群对称操作(D)，以及它们的组合。
因此晶体的一般对称操作可以写成：一般操作D|t组合构成的群称为空间群，它是晶体的完全对称群当t=0时，由非平移操作D|0组成的群称为点群，是空间群的一个子集当D=E时，由纯平移操作组成的群称为平移群，它也是空间群的一个子群子群：群的某些元素的集合，在相同的定义下，又构成群，称为这个新子群：群的某些元素的集合，在相同的定义下，又构成群，称为这个新的群称为该群的子群的群称为该群的子群32个点群点群的符号 （Schonflies符号，熊夫利符号）O (Octahedron) 代表具有立方体对称性的群T (tetrahedron)代表四面体对称性的群Cn 代表具有具有n次轴的群Sn 代表具有n次旋转反演轴的群Dn 代表具有一个n次轴，同时还有垂直于该轴的2次轴下标的h代表除了n次轴之外，还有与轴垂直的水平对称面下标的v代表除了n次轴之外，还有通过该轴的竖直平面点群的符号 （HermannMauguin 符号，国际符号）7个晶系和14种点群 晶体可以按照其具有的对称群来分类如果一些晶体具有相同的一组群元素，那么就对称性而言，它们属于同一类晶体 首先我们忽略结构中基元的对称性，而只考虑点阵的对称性分类。
7个晶系首先不考虑平移操作，即只考虑D|0构成的点阵的点群由于点阵的宏观对称操作和对称素受到平移对称性的限制，群论严格证明，仅仅存在7中不同的点群，称为7种晶系也就是说，点阵按照宏观对称性可以分为7类这7类晶系的差别体现在单胞晶格矢量上，即它们的大小和夹角：(1) 三斜晶系 (Triclinic) 除了不动操作E和中心反演对称性之外，无任何旋转对称轴 对基矢无任何限制 对应Ci群，只有2个群元素(2)单斜晶系 (Monoclinic) 存在一条2次轴和对称心 对基矢有角度要求，但无长度要求 对应C2h群，含有4个群元素(3) 正交晶系 (Orthorhombic) 存在三条2次轴和对称心 对基矢有角度要求，但无长度要求 对应D2h群，8个群元素(4) 三角晶系 (Trigonal) (Rhombohedral) 存在一条3次轴，三条2次轴（与3次轴垂直）和对称心 对基矢有角度和长度要求 对应D3d群，12个群元素(5) 四方晶系 (Tetragonal) 存在一条4次轴，四条2次轴和对称心 对基矢有角度和长度要求， 对应D4h群，16个群元素(6) 六角晶系 (Hexagonal) 存在一条6次轴，六条2次轴（与6次轴垂直）和对称心 对基矢有角度和长度要求 对应D6h群，24个群元素(7) 立方晶系 (cubic) 存在三条4次轴，四条3次轴，六条2次轴和对称心 对基矢有角度和长度要求 对应Oh群，48个群元素14种点阵考虑到平移操作，前面的7个晶系可以演绎出14种点阵。
前面的7种晶系是根据点阵单胞来考虑的，但单胞通常是扩大了的元胞，同一单胞可以对应不同点阵比如sc, bcc, fcc都属于立方晶系，但很显然具有不同的初基元胞和点阵排列我们可以在每一个晶系中增加一些新的点阵（加心），来得到新的点阵但加心也不是任意的通过加心，共可以得到14种不同的点阵P： 不加心的点阵I: 加体心F: 加面心，在单胞每个面的中心加心ABC： 在一对平行面上加心Ab面加心记作C，ac面加心记作B，bc面加心记作A不可能在两组平行面中心上加心1) 三斜晶系 P点阵(2) 单斜晶系 P和B点阵(3) 正交晶系 P,I,F,C点阵(4) 三角晶系 P点阵(5) 四方晶系 P和I点阵(6) 六角晶系 P点阵(7) 立方晶系 P,I和F点阵32个点群所以7个晶系通过加心获得14种不同的点阵按照宏观对称性，14种点阵分属7个晶系7大晶系对应32种点群点阵忽略了结构中基元的原子分布细节，一个能使点阵复原的对称操作，可能不再是结构的对称操作由于基元不同，同一点阵可以有不同的结构比如fcc结构和ZnS结构，都是fcc点阵按照点阵分的话，都属于Oh群但ZnS结构基元有两个不同的原子，所以其对称性必然降低，其实它属于Td群。
一般每一个点阵的对称性总是最高的，其对应的具体结构的对称性就会低些也就是说一个点阵对应的不同晶体结构可能具有不同的对称性比如立方晶系包含Oh, Td, O, Th 和 T 这五种点群230种晶体学空间群 要全面考虑晶体结构的对称性，必须同时考虑点群对称操作和平移对称操作：D|t 存在两种新的对称素：螺旋轴和滑移反映面螺旋轴1个n次螺旋轴表示绕轴转动2/n后，再沿着该轴方向作一个非点阵平移（T/n的整数k倍，k小于n的整数）晶体只能存在1,2,3,4,6次螺旋轴金刚石具有这种金刚石具有这种4 4度螺旋轴度螺旋轴沿着金刚石上、下底心到各沿着金刚石上、下底心到各自所在面的一个棱的垂线的自所在面的一个棱的垂线的中点，连接这两个中点的直中点，连接这两个中点的直线，就是线，就是4 4次螺旋轴次螺旋轴晶体绕该轴晶体绕该轴9090度后，再平移度后，再平移a/4a/4能够复原能够复原滑移反映面1个滑移反映面表示经过该面的镜像操作后，再沿着面内某个方向非点阵平移（T/n，n为2或者4）NaClNaCl结构就具有这种滑移结构就具有这种滑移反映面NaNa做镜面后与做镜面后与ClCl离子重合离子重合，不能复原但再平移周，不能复原。
但再平移周期的一半之后，期的一半之后，NaNa就与另就与另外一个外一个NaNa重合了，晶体复重合了，晶体复原可以证明，对称操作只能构成230种晶体学空间群http:/img.chem.ucl.ac.uk/sgp/large/sgp.htm小结点群和空间群的概念7个晶系和14种点阵32种点群和230中空间群点阵结构，基元点群数7个晶系32种点群空间群数14种点阵（14个布拉维格子）230种空间群谢 谢。