拓扑学发展初期

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1、拓扑学的发展初期几何拓扑学是十九世纪形成的一门数学分支，它属于几何学的范畴。有关拓扑学的i些内容早 在十八世纪就出现了。那时候发现一些孤立的问题，后來在拓扑学的形成中占着重要的地位。有关拓扑学的一些内容早在I八世纪就出现了。那时候发现一些孤立的问题，后來在拓扑学的形成中占着匝要的地位。在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展 史的重要问题一.硏尼斯堡七桥问题：哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）是东普鲁士的首都，哥尼斯堡七桥问题示意图普莱格尔河横 贯其中。十八世纪在这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起來。人们闲暇时经常在这上边 散步，一天有人提出：能不能

2、每座桥都只走一遍，最后又冋到原來的位匿。这个问题看起來很简单有很有 趣的问题吸引了大家，很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没有做到。看来要得到一个明确、理想的答 案还不那么容易。（图1）1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉，欧拉以深邃的洞察力很快证明了 这样的走法不存在。欧拉是这样解决问题的:既然陆地是桥梁的连接地点,不妨把图中被河隔开的陆地看 成A、B、C、D4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图2所示经过进一步的分析， 欧拉得出结论一不可能毎座桥都走一遍，最后冋到原來的位置。并且给出了所有能够一笔画出來的图形 所应具有的条件。这是拓扑学的“先声”。（图2）于是，七桥

3、问题就转化为一个象图2那样的图形是否可以“一笔画啲问题。什么叫“一笔画疗呢?那就是笔不准离开纸，一气画成整个图形，但毎一条线只许画一次，不得重复。像图2这样的图形能不能一笔画呢？ 1736年欧拉证明了：答案是否定的。为什么呢？经过研究，欧拉发现了一笔画的规律。他认为，能一笔画的图形必须是连通图。连通图就是指一个图形各部分总是有边相连的，这道题中的图就是连通图。但是，不是所有的连通图都可以一笔画的。能否一笔画是山图的奇、偶点的数目來决定的。那么什么叫奇、偶点呢？与奇数（单数）条边相连的点叫做奇点；与偶数（双数）条边相连的点叫做偶点。如下图中的、为奇点，、为偶点。1.凡是山偶点组成的连通图，一定可

4、以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。例如卜图都炬偶点,画的线路可以是：TT一一2.凡炬只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔训成。画时必须把一个奇点为起点另一个奇点终点。例如下图的线路是：T-TT3.其他情况的图都不能一笔画出。因为除了起点和终点之外，我们把其余的点称为中间点。如果一个图可以一笔画的话，对于每一个 中间点来说，当画笔沿某条线到达这一点时,必定要沿另一条线离开这点,并且进入这点几次,就要离开 这点几次，一进一出，两两配对，所以从这点发出的线必然要是偶数条。因此，一个图形能否一笔画就有 了一个判别准则：一个可以一笔画的图形最多只能有两

5、个点（起点和终点）与奇数条线相连。再看图2中的四个点都是与奇数条（三条或五条）线相连的，根据这一判别准则，是不能一笔 画的。从而证明了七桥问题所要求的走法是不存在的。曾经难倒许多人的七桥问题，经过欧拉这一转化， 就像哥伦布竖鸡蛋一样，简单而I员I满地解决了。二.多血体定理:在拓扑学的发展历史中，还有一个著名而且重要的关于多曲体的定理也和欧拉有关。这个定 理内容是:如果一个凸多面体的顶点数是V、棱数是e、面数是f,那么它们总有这样的关系:f+v-e=2o仅 有的五种正多面体根据多面体的欧拉定理，可以得出这样一个有趣的事实：只存在五种正多面体。它们是 正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二

6、十面体。R三.四色问题：著名的“四色问题”也是与拓扑学发展有关的问题。四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。四色猜想的提出來自英国。1852年，毕业于伦敦大学的死南西斯.格思里來到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看來,每幅地图都可以用四种颜色若色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。”1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成 了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878-1880年两 年间，苦名律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猪想的论文，宣布证明了四色定理。但

7、后來 数学家赫伍徳以自己的精确计算指出肯普的证明是错谋的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。于是，人 们开始认识到，这个貌似容易的题冃，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。进入20世纪以來 科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。电子计算机问世以后，山于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了 1200个小时，作了 100亿判断，终于完成了四色定理的证明。不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。x”7,上面的几个例子所讲的都是一

8、些和几何图形有关的问题，但这些问题又与传统的几何学不同,而是一些新的儿何概念。这些就是“拓扑学”的先声。什么是拓扑学？拓扑学的英文名是Topology,直译是地志学，也就是和研究地形、地貌相类似的有关学科。我 国早期曾经翻译成“形势儿何学”、“连续儿何学”、“一对一的连续变换群下的儿何学”，但是，这儿种译名都 不大好理解，1956年统一的数学名词把它确定为拓扑学，这是按音译过來的。拓扑学是几何学的一个分支，但是这种几何学又和通常的平面几何、立体几何不同。通常的平 面几何或立体几何硏究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质。拓扑学对于硏究对象的 长短、大小、面积、体积等度量性质和数量

9、关系都无关。举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那 么这两个图形叫做全等形。但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。 在拓扑学里没有不能弯曲的元索，每一个图形的大小、形状都可以改变。例如，前面讲的欧拉在解决哥尼 斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。这些就是拓扑学思考 问题的出发点。拓扑性质有那些呢？首先我们介绍拓扑等价，这是比较容易理解的一个拓扑性质。在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。比如，尽管圆和方形、三角形的形状、大小不同，在拓扑变换下，它们都是等价图形

10、。左图的三样东西就是拓扑等价的，换句话讲，就是从拓扑学的角度看，它们是完全一样的。在一个球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起來,这样球面就被这些线分成许多块。在 拓扑变换下，点、线、块的数目仍和原來的数H_样,这就是拓扑等价。一般地说，对于任意形状的闭Illi 面，只要不把曲面撕裂或割破，他的变换就是拓扑变幻，就存在拓扑等价。应该指出，环面不具有这个性质。比如像左图那样，把环面切开，它不至于分成许多块，只是变成 一个弯曲的圆桶形，对于这种情况，我们就说球面不能拓扑的变成坏面。所以球面和坏面在拓扑学中是不 同的曲面。图4 环面宜线上的点和线的结合关系、顺序关系，在拓扑变换下不变，这是拓扑性质

11、。在拓扑学中曲 线和曲面的闭合性质也是拓扑性质。我们通常讲的平面、Illi面通常有两个面,就像一张纸有两个面一样。但徳国数学家莫比乌斯 (1790-1868)在1858年发现了莫比乌斯llll血。这种llll面就不能用不同的颜色来涂满两个侧面。拓扑变换的不变性、不变杲还有很多，这里不在介绍。拓扑学建立后，由于其它数学学科的发展需要，它也得到了迅速的发展。特别是黎曼创立黎曼儿何以后，他把拓扑学概念作为分析函数论的基础，更加促进了拓扑学的进展。二十世纪以来，集合论被引进了拓扑学，为拓扑学开拓了新的面貌。拓扑学的硏究就变成了 关于任意点集的对应的概念。拓扑学中一些需要持确化拙述的问题都可以应用集合來

12、论述。因为大最自然现象具有连续性，所以拓扑学具有广泛联系各种实际事物的可能性。通过拓扑学的研 究，可以阐明空间的集合结构，从而掌握空间之间的函数关系。本世纪三十年代以后，数学家对拓扑学的 研究更加深入，提出了许多全新的概念。比如，一致性结构概念、抽象距概念和近似空间概念等等。w- 门数学分支叫做微分几何，是用微分工具来研究取线、曲面等在一点附近的弯曲情况，而拓扑学是硏究曲 面的全局联系的情况，因此，这两门学科应该存在某种木质的联系o 1945年，美籍中国数学家陈省身建 立了代数拓扑和微分几何的联系，并椎进了整体几何学的发展。拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显分成了两个分支。一个分支是偏重于用分析的方袪來研究的，叫做点集拓扑学，或者叫做分析拓扑学。另一个分支是偏重于用代数方法來研究的，叫做代数拓扑。现在，这两个分支又有统一的趋势。拓扑学在泛函分析、李群论、微分几何、微分方程额其他许多数学分支中都有广泛的应用。