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1、摘要1关键词1Abstract1Keywords1flJ B11泰勒公式11.1带有拉格朗日型余项的泰勒公式21.2带有佩亚诺型余项的泰勒公式21.3带有积分型余项的泰勒公式31.4带有柯西型余项的泰勒公式32泰勒公式的应用42泰勒公式求极限42.2利用泰勒公式判断敛散性52.3利用泰勒公式证明中值问题62.4利用泰勒公式证明函数不等式和等式72.5利用泰勒公式证明导数不等式103结束语12参考文献13泰勒公式余项及其应用摘 要:本文主要介绍了泰勒公式余项类型及其在极限计算、函数凸凹性判断、 敛散性判断、等式与不等式证明、中值问题方面的应用.关键词:泰勒公式；凸凹性；中值定理The appli
2、cations of the remainder term of Taylor formulaAbstract： This paper mainly introduces the types of the remainder term of Taylor formula,and also introduces their applications in limit calculation, judgment of convexitiy-concavity of functionthe judgement of divergence, the prove of inequality and mi
3、ddle value.Key words:Taylor formula;convexity-concavity; meanvalue theorem0前言泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容,我们可以用泰勒公式来很好的解决 某些问题,如求某些极限，确定无穷小的阶，证明等式和不等式，判断敛散性，判断函数的 凸凹性以及解决中值问题等.1泰勒公式1.1带有拉格朗日型余项的泰勒公式若函数/在诃上存在直至71阶的连续导函数，在仏b）内存在S + 1）阶导函数,则对任意给定的x,x0 g a.b，至少存在一点百g a,b，使得f （） = 7（-0）+ ff（xox xo）+- xo）2 + +-：丿（
4、兀_兀0） + （兀 _心）“.2!hi（72 + 1）!则其余项为R” （x） = f（X）- Tn （x） = 4（X - x0 严,其中 =兀()+ 0(x x()(0 v 0 v 1),称为拉格朗口余项.证作辅助函数)=)-/+汕日+针)GQ) = (x-r)w+1,所耍证明的结论即(刃 + 1)!不妨设勺 x则F(r)与G(r)在卜0，打上连续，在(x0,x)内可导,且O) = -/曲nGa)=_s+i)a_“H0.乂因为F(x) = G(x) = 0所以由柯西中值定理证得Fg)二 Fg)-F二 F二严G(x0) _ G(x0)-G(x) _ Gz() _ S + l)!其中 gw(
5、Xo，x)u(a,/?) 1.2带有佩亚诺型余项的泰勒公式如果函数/(兀)在点天存在直至H阶导数，则有/ (x) = / (x() + / x0 )(x - x() 4-(X - x() )2 +一(尤_ 兀() +o(x x。)./ U Rn （兀）=/-人（兀），2 （兀）=（兀-勺）,现在只要证lim松卫=0 f Q(x)由厂（%（） =町,（x（）,R =0,1,2,/?可知,尺0）=尺（兀。）=心叫兀。）=0,并易知Qn （兀0 ） = Q：（兀0 ）=二 Qnn）（兀0 ） = 0, Qu M = nl.13带有积分型余项的泰勒公式如果函数/在点心的某邻域U（x（J内具有n +1导
6、数，令xeU（勺）则对邻域内异于 无）任意点兀至少存在一个/使得y（x） = /（x0） + /（x0）（x-x0） + -了 ”（x-xJ + 占严呵（r）（X-r） d ,其中 八7（以兀-门刃就是泰勒公式的积分型余项.1.4带有柯西型余项的泰勒公式如果函数/在点勺的某邻域（/（X。）内具有+ 1阶导数，令xeU（x0）则对邻域内异 丁任意点无有/?n （兀）=1 fn+l （兀0 + 0（兀-兀0）（1 - &）（兀-兀0厂,（0 S & Ml）AZ 当x0 =0吋有Rn W =-广(旳(1 0) xw+,(O v 0 v 1).n2.泰勒公式的应用2.1泰勒公式求极限例求极限lim些土
7、伫5x-分析:此式分子含有根号项，用洛比达法则也可以求解，不过比较繁琐.用泰勒公式可以 将问题大大简化.解：将如二,J匚匚在兀=0处利用麦克劳林公式展开得到2 2原式=limJl + 兀 + yj x 21lim xtOo0-+ o(2) + l-瓦 +。的-297一匚工+。(小 lim *xtOJT例2求极限lim(7)XTO silT 兀 JT力”(/ 、 i兀-_sirr x解:lim() = hm “ .入to sinto x jc xto ；rsirr 兀X sinh =匕严，将cos 2x用泰勒公式展开得心2归-空+虫+。2!4!(小2 2 zx -sin x、 lim(；-)=l
8、im xto fsirr 牙牙tox4T+ ox4X422利用泰勒公式判断敛散性例3讨论级数ln!Ll）的敛散性. n分析：直接根据通项去判断级数是止项级数还是非止项级数比较困难，因而也就无法恰当选择判敛方法注意到JlnV nIn （1 +丄，若将In I I +丄泰勒展开为-的 nI nj幕的形式开二次方后将与丄相呼丿应，判断敛散性就容易了.ln因为ln(l + x)3n (l + n)(l + g)“ 科所以0,故该级数是正项级数.111? 0(n -co)的阶.心 1心所以怙牛=1.Too I因为收敛，所以收敛./?=! “n=22.3利用泰勒公式证明中值问题例5 设/(a)在a,b上三
9、次可导，试证立丘仏/?),使得/0)*(a) + 4 字”一 a) + ”(c)(i(1)证明：设k为使下式成立的实数側卄）一广(b _ a)k (b _ a) = 0(2)此时，问题归为证明：玄w (恥)，使得k =(c).g(x)*(x) /(d) /(x a) aT=O则 g（d） = g（b） = O.根据罗尔定理，北G仏方），使得gG） = 0 .由（3）式，即：广-”学-”学学-治-。）227 Z J Z o（5）由（4）、（5）这是关丁弋的方程，注意到广点）在点圧 处的泰勒公式 广忆）胡学0，试证明分析：因为不等式右边岀现了 /（d）与/（方）,提示我们选择X=d,Xo=b分别展
10、开.（2）已知/（） 0,所以最多只能展开到含二阶导数为止.证明：对Vx0 G fZ,/?, /（X）在点X（）处的泰-勒展开式为：1 f （兀0）= /（兀0）+广（兀0）（兀-兀o） +討（0（兀-兀0）第丘（兀0，兀）因为广（00,所以/（x）/（x0） + /r（x0）（x-x0）.令 x = a.x = b 则/（a）/（兀（J +广（兀（）-北）,/（方）/（无）+ 广（兀（）（方-兀（）. 则/（a） + /（Z?） 2/（x0） + （a + &）/r（x0）-2x0/z（x0）.对上式两边同时在a,b积分得:（“-讥于+ .f（b）2f （兀0）矶+（。+巧厂（心）矶-2仏厂
11、（尢）%（-。）/（。） + /（）2打（咖水（+5）/少）一/何一2廿（入）（一（/（x）d x得2/(a) + /*(b)(b-a)4“(Qdx.故(识 ()止严，命题得证.由例6可知，当已知被积函数/（兀）二阶或二阶以上可导，而且已知最高阶导数的符 号时，用泰勒公式证明定积分不等式往往比较有效,一般先直接写tn/（x）的泰勒展开 式（有时根据题意对展开式进行放缩），然后两边积分证得结果.例7设/（X）在0,1上有连续的二阶导数，且广（0）=广（1） = 0 ,试证分析：由题中条件“/（兀）在0,1上有连续的二阶导数二我们可以考虑用泰勒公式 来解题，由于题中耍证的等式右边具有厂（0.可以考
12、虑将函数F（x）=p（f）展开为 二阶泰勒公式题中已知广（0）=广（1） = 0,我们可在x点作泰勒展开，然后分别令 x = I9x = 0,&样既可使展开式得以简化，乂可引出/（。），/（1）,有利于问题的证明.证明：Vxg(),1,设力,则F(0)= 0,(x) = /(x), F(兀)=广(兀),F(x)=把 F(u)在弘= x(0Kl)处展开二阶泰勒公式：?qF(W) = F(x) + /(x)(m-x) + -/,(x)(W-x) +-/(7)(w-x)分别令u = 1,=0,并将所得两式相减得F（l）（0）=打（/）2/（龙）+扣-2兀）广（兀）+苴厂（巾）（1一才+厂仏）加=mi
13、n /(/J= max/(2)因为厂在0,1连续,由介值定理可知存在张（0,1）,使得,于是心叫）丁（叭2”心川）+/+y（）.因此g)心芈型+爭go).由例7可知，当已知被积函数/(兀)具有二阶或二阶以上连续导数时,证明定积分等 式，一般先作辅助函数F(x)=在将F(x)在所需点(一般是根据右边表达式确定站开点)进行泰勒展开，然后对泰勒余项作适当处理(一般用介值定理).2.5利用泰勒公式证明导数不等式例8设函数/在0,1二次可微，且/(O)= /(l) = O,min/(x) = -l,i证存在一 点疑(0,1),使广(08分析:几龙)在0,1二次可微，且最小值-1工0,所以在(0,1)内一定有极值点，该点 的导数为0,
