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1、高考解答题中的最值问题探究海南华侨中学马莉李红庆中学数学的最值问题包括于代数、立体几何及解析几何备部分Z中，在实际问题中也 有广泛的应用。利用中学数学方法解最值问题，要求学生有牢固掌握各方面基础知识，并且 全面严谨的分析问题的能力，和综合灵活的解决问题的能力。因此，最值问题历来是高考考 杳的热点。一在高中数学中解决最值问题主要是应用以下几种思想方法：1. 配方法主要用于一元二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意白变量的范囤。2. 判别式法主要用于可化为关于兀的二次方程d（y）兀2 +b（y）x + c（y） = 0的函数y = /（x）。由A0且d（y）H（）,求出y的最值后，要检验这个最
2、值在定义域内是否有相应的x值。3. 不等式法包括基木不等式，均值不等式。注意运用均值不等式，要考杳“一正二定三相等”。4. 换元法包括三角函数代换，参数代换，二元代换，整体代换。用换元法时，一定要注意新变量 的取值范围。5. 数形结合理解一些方程的几何意义，如两点间距离、斜率、圆、点到直线的距离等等。6. 导数法利用函数的导函数来研究函数的单调性和最值，在近几年中，越来越成为高考的热点, 并且一般难度为中等偏上。7. 函数单调性法形如y =兀+ 仏0）的函数，在不能用均值不等式的情况下，可考虑函数的单调性, X分X0和X v 0两种情况讨论。二高考解答题中，最值问题几乎可以渗透到每一个知识点中
3、，与其融为一体。在知识的交汇点处命制题目越来越成为高考的热点,这类问题一般能比较好地考杏学生 综合运用知识处理问题的能力。解决综合类题目中的最值问题，要注意综合运用所学的数学思想方法来分析问题，及时 地进行思维的转换,灵活运川求最值的几种方法，尤其要注意利川导数这一工具來解决函数 的最值。例1记函数/（X）的定义域为D,若存在Ao G Z）,使/UO） = XO成立，则称以（兀0,兀0）Q . 1 Q为坐标的点为函数/（兀）的不动点.若/（兀）=二一,函数/（X）图像上的两个不动点分别 x + 3为A、A，P为函数/（x）图像上的另一点，且其纵坐标）3,求点P到肓线4A的距 离的最小值及取得最
4、小值时点P的坐标。解：（方法一）由 /(x) = = x,解得 A(2V2,2a/2), 4(一2血,一2血)x + 3.直线A4的方稈为y = x设点P（圮y）,点P到肓线的距离为d,则y3,I3x + 8步一777V2 x + 3当且仅当（兀3）=,即x = 4时，上式取等号，此时，x = -4, y = 4,（-T故点P（-4,4）使得点P到直线A41的距离的故小，最小值为4近分析：木方法运用的是解析几何的常规思路，思路严谨，是解决此类问题的常用方法。 （方法二）Q y I Q由题知，函数f（x） = - 的图像是如图所示的双Illi线，以兀=-3和y = 3为渐近线,x + 3点P的纵
5、坐标* 3,则这个点在双曲线的左半支上，由不动点的定义可知，不动点一定在肓线y = x,所以肓线必,的方程为y = x当直线y = x + m与双曲线的左半支相切时，切点就是所求的左半支上到頁线AA距离 最小的点P。y = x + m联立方程3x + 8，y = x + 3消去y可得x2 + mx + 3m-8 = 0令4 =加一4(3加一8) =0 ,可解得m = S ( m = 4时，J线与双曲线的右半支相切，故舍去)此时，方程有唯一解兀=-4,所以，点戶(-4,4)使得点P到玄线/VT的距离的最小，最小值为4血。分析：方法二充分利用图形，首先是分析不动点的定义发现，直线必的方稈不需要 求
6、两个点的坐标即可育接得出。以数形结合的思想解决最值，把问题转化为两条平行线(图 中的切线与肓线A/T的距离)，大大缩小了计算量。在解决几何问题的时候，要注意，几何 问题首先要考察图形，如果可以从图形中发现解决办法，一般部优于纯粹计算的方法。数行 结合的数学思想也是高考考杏的重要思想2。例2已知抛物线C:y2=x定点M(l,l)和动点B,C满足MB丄BC ,求|MC|的最 小值.解：由题可设点的坐标为C(F,c),显然b、c、1互不相等MB 丄 BC :.MB BC = 0 MB = (b2 一 1,方一 1) BC = (c2-bc-b):.(b2 - l)(c2 -b2) + (b- l)(
7、c-Z?)=0.l + (l+Z)S + c)=0c =b = -( +方 +1) + In+b+b.CA3 或 cS -1.-.|C|2 =(c2-l)2+(c-l)2 =c4-c2-2c + 2令/(c) = c4c2c + 2,则 fc) = 4?-2c-2 = 2(c- l)(2c2 + 2c +1)./（。）在（Y）,-l上是减函数，3,+8）上是增函数，.当 c = -l 时，/（-1） = 4,当c = 3时,/（3） = 684:.MC&小值为2。分析：木题用解析几何的方法，以向量积来描述垂育的位置关系，简化了计算。事实上, 用数学式了描述垂育关系的方法还有多种，如勾股定理、斜
8、率Z积等于负一，但无论从计算 繁简程度还是使用范|韦而言，都不如向量的方法更好。提侣同学们，在解决涉及角度问题是 多考虑用向量，无论是平面儿何还是立体儿何，向量祁可以给你惊喜。木题在求解的过稈中， 两次用到求最值，分别是用均值不等式和导函数。用均值不等式的时候，由于不知道（方+ 1） 的正负符号，而得出两种情况，这点也是同学们在考试中要时刻牢记的。用导函数研究函数 的单调性和最值，是近几年高考的热点，要引起我们足够的重视。例3已知i、j分别是兀轴、y轴方向上的单位向量，OA=j, O4； = 10j,且AlA =3人人+1（九=2,3,4,），在射线y = x（x 0）上从下到上依次有点Bja
9、 = 1,2,3,），西=3i + 3j且= 2皿=2,3,4,）。（1）求兀，OB,.； （2）求四边形AA+咼+咼面积的最大值。一 1解：(1)=3A“A“+(m = 2,3,4,)* A, &r+l =A,-lAi 1 1 m+i =尹刍& =尹OAn = OA + AjA, + + An_An= j + 9j + + 13丿=j+ J3兀瓦=22且在射线)=x(x 0)上从下到上依次有点BQ = 1,2,3,). OB“ = OB】+ BQ + + Bn_xBn= 3i + 3j +( 1)+ 2j) =(2n + l)i + (2n +1) j(2)四边形仏几咼的面积S” =S ,
10、+S心 A,4+i3-34也弗的底边4A,+i上的高力i + 37/-4B“B= 22,29 -3&(0,y2(|、-429 -3)到肓线y = x的距离为h2 = 爲一Sn = x (2/Z + 3)I I29-x H xx-7=3心22逅29 nq +尹 s _s _ +i”3_2n + I n -2n +1 门 0.数列S“是一个递减数列 o 47* Smax = I =亍分析：木题以Ml线上的点列为载体考查了等比数列的通项公式和前刃项和公式，考查了 学生的综合运用分析、综合、归纳、概括等思维方法。这种以解其几何为载体，有着高等数 学背景的数列解答体将是未來高考的一个新的亮点。题目中最示使用函数单调性的思想解决 了数列的最值问题，方法比较简单，但用法值得借鉴。本文篇幅冇限，所列问题也只是最值问题的冰山Z角，希望同学们在白己的学习过稈 中，多思考，多领悟。一个善于学习，善于思考的人，才会成为高考的真正赢家。精品资料，你值得拥有!
