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1、高等数学基础作业3第4章导数的应用一：单项选择题1：若函数/（尢）满足条件（D ）,则存在歹丘仏/几 使得广（自二/何二也）ob-aA:在仏b）内连续B:在仏/?）内可导C:在（“）内连续且可导D:在上内连续，在（以）内可导2:函数/（x） = x2+4x-啲单调增加区间是（D ）。A： (-oo,2)B: (-1,1)C：(2,+oo)D: (- 2,+oo)3:函数y = x2+4x-5在区间（-6,6）内满足（A ）。A:先单调下降再单调上升C：先单调上升再单调下降B：单调下降D：单调上升4：函数/（兀）满足广（无）=0的点，一定是/（x）的（C ）oA：间断点C：驻点B：极值点D:拐点
2、5：设/在仏方）内有连续的二阶导数，兀。丘（以），若/满足（C ）,则/（兀） 在兀。取得极小值。A：广（兀。）0,厂（心）=0B：广（讥0,厂（心）=0C：广（兀。）=0,厂（兀。）0D：广（心）=0,广仏。）（06:设/（兀）在（以）内有连续的二阶导数，且广（錯0,广（逹。，则/（兀）在此区间内是（A ）oA：单调减少且是凸的 C：单调增加且是凸的B：单调减少且是凹的D:单调增加且是凹的二：填空题1:设/（x）在（d,b）内可导，x0 e（a?&）,且当时f r（x0,当兀心时广（尤）0,则心是/（兀）的（极小值）点。2:若函数几x）在点兀。可导，且心是/的极值点，则广山）=（0）3：函数
3、y = ln（l + F）的单调减少区间是（-oo,0）。4：函数.f之的单调增加区间是（0,4-3）。5：若函数/&）在a,b内恒有广（兀）0,则/（x）在a,b上的最大值是（/（a）。6：函数/（x）=2 + 5x-3x3 的拐点是（0,2）。三：计算题1：求函数y = （x + l）（兀-5）2的单调区间和极值。解：yr （x 5尸 + （x + l）2（x 5）= 3（x 5）（x 1）令 yr = 0=X = l;x2 = 5 两个驻点。列表如下：X(-, 1)1/+0y/极大值 y(l)=32(1 ,5)5（5，+8）0+极小值 y（5）=o/2:求函数），=，一？兀+ 3在区间0
4、,3内的极值点，并求最大值和最小值。解：yr = 2x-2 = 2(兀一1),令;/ = 0 = 兀=1 且 xl n y0;xl = y0y（1）二2是极小值点。y（0）=3y（3）=6即y（l）=2是最小值，y（3）=6是最大值3:求曲线y2=2x的点，使其到点4（2,0）的距离最短.设 y2 = 2 兀的一点(x, V2x ljA(2,0)rKl 距离为解：测d(x) = J好 - 0+ (兀 一 2尸 n /&)二 _2二2(匸 2)二=0 y/2x + (x-2)2=2x-2 = 0=x = l= 所求点为(1,/加(1,“)4:圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为仃问当底半径与高分
5、别为多少时,柱体的体积最大?解：如图所示，圆柱体高力与底半径7满足柱体的体积公式为将r2=l2-h2代入得V = n(l2-h2)h求导得Vf = 71(-2/?2 + (I2 一/?2) = 7t(Z2 一3h2)令厂=0得h = 4,并由此解出r = l.即当底半径厂=空高匸/时,3333圆柱体的体积最大.5: 一个体积为的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小?解：设圆柱体的底半径为巧高为h,则其表面积为s,s = 2/rx r2 + 2 x r x /?2/rx r2 +2V由0 ,得唯一驻点r = 3|,由实际问题可知，当r = 3；2L时可使用料最2tt2tt省。此时h = -9
6、即当圆柱体的底半径与髙分别为#，与彳时，表面积最小。6:欲做一个底为正方形，容积为625立方米的长方体开口容器，怎样做法用料 最省？解:设长方体的底面边长为兀,则长方体的高力=呼所用材料的面积为心)=* + 4 x x x * +型&o)X$)=21竺,令$)=0,=，=125,得到唯一驻点兀=5,因为本问题存在最小值，且函数的驻点 x唯一，所以当底面边长5(米)，高=誉=2.5(米対，所用材料最省。四：证明题1:当x0时，证明不等式x ln(l + X)证明：设 F(a) = -arctanx,则有 F(x) = 1r = 一丁1 + x 1 + JC当x0时，Fx)0,故F(x)单调增加，所以当兀0时有F(x) F(0) = 0,即 不等式x arctan x成立，证毕.2：当兀0时，证明不等式cA x + l.证明:4/(x) = ex-x-l,则ff(x) = ex-l当兀0时，广&) = /-10,是增函数，Rf(0)= e -1=0 当兀0时，f(x) = ex 一 xe)0 = e x)x + .
