第一章质点力学1.1平均速度与瞬时速度有何不同？在上面情况下，它们一致？答：平均速度是运动质点在某一时间间隔/-＞『+山内位矢大小和方向改变的平均快慢速 度，其方向沿位移的方向即沿对应的轨迹割线方向；瞬时速度是运动质点在某时刻或某 未知位矢和方向变化的快慢稈度其方向沿该时刻质点所在点轨迹的切线方向在d T 0的 极限情况，二者一致，在匀速肓线运动中二者也一致的1.2在极坐标系中,Vr=r，v0=r0-为什么at =r-rO2而非F?为什么= rd + 2rO 而非rd + rd ?你能说出ar中的一 r02和中另一个胡出现的原因和它们的物理意义 吗？答：质点运动时•，径向速度v,和横向速度vjl勺大小、方向都改变，而％中的F只反映了 V, 本身大小的改变，中的阳+阳只是V本身大小的改变事实上，横向速度％方向的 改变会引起径向速度V,大小大改变，—厂02就是反映这种改变的加速度分量；经向速度V,. 的方向改变也引起必的大小改变，另一个,0即为反映这种改变的加速度分量，故 e =1朋2, 二"+ 2〃.这表示质点的径向与横向运动在相互影响，它们一起才能完一整地描述质点的运动变化情况1.3在内禀方稈中，心是怎样产生的？为什么在空间曲线中它总沿着主法线方向？当质点 沿空问运动时，副法线方向的加速度◎等于零，而作用力在副法线方向的分量仇一般不等 于零，这是不是违背了牛顿运动定律呢？答：内禀方程中，q是由于速度方向的改变产生的，在空间曲线中，由于3恒位于密切面 H内，速度V总是沿轨迹的切线方向，而G”垂直于V指向曲线凹陷一方，故心总是沿助法线 方向。
质点沿空间曲线运动时，為=0,仇HOZ何与牛顿运动定律不矛盾因质点除受作 用力F，还受到被动的约反作用力R，二者在副法线方向的分量成平衡力亿+尺,=0,故 =0符合牛顿运动率有人会问：约束反作用力靠谁施加，当然是与质点接触的周围其 他物体由于受到质点的作用而对质点产生的反作用力有人也许还会问：某时刻若心与心 大小不等，你就不为零了？当然是这样，但此时刻质点受合力的方向与原来不同，质点的 位置也在改变，副法线在空间中方位也不再是原来仇所在的方位，又有了新的副法线，在 新的副法线上仍满足Fh + Rh = 0即ah =0o这反映了牛顿定律得瞬时性和矢量性，也反映 了白然坐标系的方向虽质点的运动而变1.4在怎样的运动中只有而无a ?在怎样的运动中又只有而无a ?在怎样的运动中 T n n t 既有a “而无％?答：质点在直线运动中只有色而无％ 质点的匀速曲线运动中只有住而无色；质点作变 速运动时即有陽又有％1.5与0有无不同？空与彳：有无不同？试就直线运动与|11|线运动分别加以讨论.dt dt dt dt答：空即反应位矢「大小的改变艾反映其方向的改变，是质点运动某时刻的速度矢量，而 dt了直线的正方向后,drdr日dro Jlj. dtdtdt速度；在曲线运动中dr ——Hdr,且0dtdtdt0只表示「大小的改变。
如在极坐标系中，— = r\ + r0i而冷二八 在真线运动中，规定 clt dt dt 的正负可表示空的指向，二者都可表示质点的运动也表示不了空的指向，二者完全不同cltdt空表示质点运动速度的大小，方向的改变是加速度矢量，而冬只是质点运动速度大小 dt dt的改变在直线运动中规定了肓线的正方向麻，二者都可表示质点运动的加速度；在曲线运动中，二者不同，竺m +色而竺 dt r " dt T1. 6人以速度0向篮球网前进，则当其投篮时应用什么角度投出？跟静止时投篮有何不同?答：不论人是静止投篮还是运动投篮，球对地的方向总应指向篮筐，其速度合成如题1.6题1・6图图所示，故人以速度V向球网前进时应向高于篮筐的方向投出静止投篮是直接向篮筐投 出，（事实上要稍高一点，使球的运动有一定弧度，便于投篮）1.7雨点以匀速度I，落下，在一有加速度的火车中看，它走什么路经？答：火车中的人看雨点的运动，是雨点的匀速下落运动及向右以加速度的匀速水平育线运动的合成运动如题1.7图所示， 题1・7图ok’y是固定于车的坐标系，雨点相对车的加速度a = -a，其相对运动方稈・八尹消yf = vt去/的轨迹,2 2/ ,y = %• a如题图，有人会问：车上的人看雨点的轨迹是向上凹而不是向下凹呢？因加速度总是在曲线 凹向的内侧，a垂直于V方向的分量硏在改变着V’的方向，该轨迹上凹。
1.8某人以一定的功率划船，逆流而上.当船经过一桥时，船上的漁竿不慎落入河中.两分钟 后，此人才发现，立即返棹追赶•追到漁竿Z处是在桥的下游600米的地方，问河水的流速 是多大？答：设人发觉干落水时，船已上行“，上行时船的绝对速度V,. -V，贝iJ" 船—V水）x2① 船反向追赶竿的速度鉴+人，设从反船到追上竿共用时间/，贝I」（V船 + V 水）t = 600 + sf② 又竿与水同速，则U水（2+ 0 = 600①+③二②得1. 9物体运动的速度是否总是和所受的外力的方向一致？为什么？答：不一定一致，因为是改变物体运动速度的外因，而不是产生速度的原因，加速度的方向 与合外力的方向一致外力不但改变速度的大小还改变速度的力向，在曲线运动中外力与速 度的方向肯定不一致，只是在加速度育线运动二者的方向一致1・10在那些条件下，物体可以作肓线运动？如果初速度的方向和力的方向一致，则物体是 沿力的方向还是沿初速度的方向运动？试用一具体实例加以说明.答：当速度与物体受的合外力同一方位线且力矢的方位线不变时，物体作育线运动在Illi线 运动中若初速度方向与力的方向不一致，物体沿出速度的方向减速运动，以后各时刻既可沿 初速度方向运动，也可沿力的方向运动，如以一定初速度上抛的物体，开始时及上升过程中 初速度的方向运动，到达最高点下落过程中沿力的方向运动。
在曲线运动中初速度的方向与外力的方向不一致，物体初时刻速度沿初速度的反方向，但以 后既不会沿初速度的方向也不会沿外力的方向运动，外力不断改变物体的运动方向，各时刻 的运动方向与外力的方向及初速度的方向都有关如斜抛物体初速度的方向与重力的方向不 一致，重力的方向决定了轨道的形状开口下凹，初速度的方向决定了射高和射稈1.11质点仅因重力作用而沿光滑静止曲线下滑，达到任一点时的速度只和什么有关？为什 么是这样？假如不是光滑的将如何？答:质点仅因重力作用沿光滑静止曲线下滑,达到任意点的速度只和初末时刻的高度差有关, 因重力是保守力，而光滑静止曲线给予质点的发向约朿力不做功，因此有此结论 假如Illi线不是光滑的，质点还受到摩擦力的作用，摩擦力是非保守力，摩擦力的功不仅与初 末位置有关，还与路径有关，故质点到达任一点的速度不仅与初末高度差有关，还与曲线形 状有关1.12为什么被约束在一光滑静止的曲线上运动时，约束力不作功？我们利用动能定理或能 量积分，能否求出约束力？如不能，应当怎样去求？答：质点被约束在一光滑静止的曲线上运动时，约束力的方向总是垂直于质点的运动方向， 故约朿力不做功，动能定理或能量积分中不含约束力，故不能求出约束力。
但用动能定理或 能量积分可求出质点在某位置的速度，从而得出”，有牛顿运动方程Fn + Rn = man便可 求出/?”，即为约束力1.1：3质点的质最是1 T•克，它运动时的速度是* = ，式中i、j、Jt是沿兀、y、z轴上的单位矢最求此质点的动量和动能的量值答：动量p = mv = \^32 +22 +432 =4（畑呀）动能 T = -mv2 =-xlx2 232 +22V32 | =1.14在上题中，当质点以上述速度运动到（1, 2, 3）点时，它对原点及z轴的动量矩备 是多少？ 答:J = rx/72V= 1 2 3 =(2馅-6)+ b_ ⑹+(2-6 k3 2 V3故Jo = _忒 +"『+(-4)2 U &67(焙■加1. 15动量矩守恒是否就意味肴动最也守恒？已知质点受有心力作川而运动时，动量矩是守 恒的，问它的动量是否也守恒?答：动量矩皆恒意味着外力矩为零，但并不意味着外力也为零，故动量矩守恒并不意味着动 量也导恒如质点受有心力作用而运动动量矩守恒是由于力过力心，力对力心的矩为零，但 这质点受的力并不为零，故动量不守恒，速度的大小和方向每时每刻部在改变1.16如F = F（”，则在三维直角坐标系中，仍有▽xF=（）的关系存在吗？试验之。
答：若F = F（r）,在球坐标系中有rdr%)dO0=0rh•丁•坐标系的选取只是数学手段的不同，它不影响力场的物理性质，故在三维盲角坐标系中仍有VxF = 0的关系在肓角坐标系中r = xi + yj + zk, F(r) = Fv(r) + Fy (z)j + F.(r)k故VxF =k&咲\)/ .J a 一㊈上•F&"i QaxF（r）-尸（厂）上 F（r）- 事实上据“V”算符的性质，上述证明完全可以简写为V xF = Vx F（r）r = 0这表明有心力场是无旋场记保守立场1. 17在平方反比引力问题中，势能Illi线应具有什么样的形状？答平方反比力场中系统的势能v（厂）=_也，其势能曲线如题图1. 17图所示,由r + V（r）=E^nT = E-V（r）,l*lr > 0,故有E > V（r）^若EvO,其势能I山线对应于近口点厂.和远日点广 Z问的一段近日点处 E-V（r）-T即为进入轨道需要的初动能若E >0则质点的运动无界，对应于双曲线轨道的 运动；若 = o位于有界和无界Z间，对应于抛物线轨道的运动；这两种轨道的运动都没有 近I」点，即对大的厂质点的运动是无界的，当广很大时V&）t0,还是选无限远为零势点 的缘故，从图中可知，做双曲轨道运动比抛物轨道和椭圆轨道需要的进入轨道需要的动能要 大。
事实及理论都证明，平方反比引力场中质点的轨道正是取决于进入轨道时初动能的大小 由— mv2>0= eI = o<0 即速度y的大小就决定了轨道的形状，图中7],丁2忑对应于进入轨道时的达到第一二三宇 宙速度所需的能量由于物体总是有限度的，故厂有一极小值/?「既相互作用的二质点不可 能无限接近，对于人造卫星的发射&其为地球半径T（）=E-V（r）为地面上发射时所需的 初动能，图示几|,几2，几3分别为使卫星进入轨道时达到一二三宇宙速度在地面上的发射动 能％ _）i = 1,2,3•为进入轨道前克服里及空气阻力做功所需的能量1.18我国发射的第一颗人造地球卫星的轨道平面和地球赤道平面的交角为6& 5比苏 联及美国第一次发射的都要大我们说，交角越大，技术要求越高，这是为什么？又交角大 的优点是什么？答：地球附近的物体都受到随地球『I转引起的惯性离心力的作用，此力的方位线平行于赤道 平面，指向背离地轴人造地球卫星的轨道平面和地球赤道平面的夹角越大，则T星的惯性 离心力与轨道平面的家教越大，运动中受的影响也越大，对卫星导向控制系统的要求越高 交角越大，对地球的育接探测血积越大，其科学使用价值越高。
1. 19卢瑟福公式对引力库仑场来讲也能适用吗？为什么？答：对库仑引力场有丄mv2-- = E,其中十=三若V?〉兰，则，E〉0,轨道是双曲线2 r 4 亦 r的一点，与斥力情况相同，卢瑟福公式也适用，不同的是引力情况下力心在双曲线凹陷方位 内侧；若V•址贝IJE50,轨道椭圆（E〈o）或抛物线。