考点9导数的几何意义以及应用【考点分类】热点一导数的几何意义1. [2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】已知曲线j = 在点（・1, d + 2）处切线的斜率为8, （ ）（A） 9 （B） 6 （C） -9 （D） -62. [2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】若曲线y = Ax+lnx在点（1上）处的切线平行于x轴，则上= .3. [2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科】若曲线y=^（aeR）在点（1, 2）处的切线经过坐标原点，则cc = ・4. [2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理】设函数/（X）在（O’+oo）內可导，且/（O = x+k则f⑴二 ・5. （2012年高考（课标文））曲线j = x（31n%+l）在点（1, 1）处的切线方程为6. （2012年高考（广东理））曲线尸『-兀+ 3在点（1,3）处的切线方程为【方法总结】求曲线的切线方程有两种情况，一是求曲线y=J[x）在点P（x,为）处的切线方程，其方法如下：（1）求出函数y=/（x）在点x=Xo处的导数，即曲线y=j{x）在点P（xo,夬兀0））处切线的斜率.⑵在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y（）+f（xo）（x—x（））.如果曲线）=.几工）在点 P（x0, X%o））处的切线平行于y轴，由切线定义可知，切线方程为x=x0.二是求曲线y=^x）过点P（xo,沟）的切线方程，其方法如下：（1）设切点A（xa, 求切线的斜率k=f（xA）,写出切线方程.(2)把P(xQ , jo)的坐标代入切线方程，建立关于心的方程，解得心的值，进而写出切线方程・热点二 导数的几何意义的应用7. [2013年普通高等学校招生全国统一考试福建卷】已知函数/(x) = x-^tax(ae^)(1) 当。
2时，求曲线> = /(x)在点4X/(1))处的切线方程；(2) 求函数/(X)的极值.8. [2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西程)理】已知函数faHwR.(I) 若直线y=kx+l与f(x)的反函数的图像相切，求实数k的值；(II) 设5,讨论曲线y=f(x)与曲线y = mx2(m>0)公共点的个数.(III) 设a
1,求曲线y = /(无)在点(2,/(2))处的切线方程.(II)若||>1,求/(兀)在闭区间[0,2|]上的最小值.15. [2017年全国高考新课标(I)文科】己知函数f(x) = ex(ax+b)-x2 -4x,曲线y = /(兀)在点(0,/(0))处切线方程为y = 4x+4.(I )求a,b的值;(『)讨论/(兀)的单调性，并求/(劝的极大值.16. [2017年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)文】己知函数 /(%) = x2 +xsinx + cosx.(I) 若曲线= /(%)在点@,/@))处与直线y = b相切，求a与Z?的值.(II) 若曲线》=/(兀)与直线y = b有两个不同的交点，求b的取值范围.17. (2012年高考(重庆理))设/(x) = ^lnx + —+ -X + 1,其中aw R，曲线y =/(x)在点(1,/(1))处的切线垂 2x 2直于y轴.(I) 求d的值；(II) 求函数/(X)的极值.18. (2012年高考(山东文))已知函数 他4—心 为常数，沪2.71828是自然对数的底数)，曲线V = /(X)在点 exQ/(l))处的切线与x轴平行.(I) 求&的值;(II) 求/(x)的单调区间；(III) 设g(x) = xf\x),其中/(兀)为/(无)的导函数.证明：对任意兀>O,g(x)vl + r.19. (2012年高考(湖北文))设函数f(x) = axn(1 -x) + b(x > 0), n为正整数，为常数,曲线丿二/(劝在(1, /(I))处的切线方程为x+y = 1.⑴求d上的值;(2)求函数/(尢)的最大值；⑶证明：/(x)v丄.ne20. (2012 年高考(北京文))已知函数 f(x) = ax2 +1 (tz >0), g(x) = x3 +bx.(1)若曲线y = /(%)与曲线y = g(兀)在它们的交点(1, c)处具有公共切线，求。
上的值;⑵当a = 3,b = -9时,求函数f(x) + g(x)在区间伙,2］上的最大值为28,求k的取值范围.21. (2012年高考(北京理))己知函数f(x) = ax2 +1 ( >0), g(x) = x3 +加・⑴若曲线y = f(x)与曲线y = g(兀)在它们的交点(1, c)处具有公共切线，求的值；⑵当a2=4b时,求函数f(x) + g(Q的单调区间,并求其在区间(—,-1］上的最大值.22. (2012年高考(安徽文))设定义在(0,+oo)上的函数/(x) = or + —+ /?(tz>0)ax(I)求/(兀)的最小值；(I I)若曲线y = f(x)在点(1,/(1))处的切线方程为y =扌X，求的值.【考点剖析】%1. 明确要求1. 了解导数概念的实际背景.2. 理解导数的几何意义.3. 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.4. ［理］能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax+b）的复合函数）的导数.%1. 命题方向1 •导数的运算是导数的基本内容，在高考中每年必考，一般不单独命题，而在考查导数应用的同时 进行考查.2. 导数的几何意义是高考重点考查的內容，常与解析几何知识交汇命题.3. 多以选择题和填空题的形式出现，有时也出现在解答题中关键的一步.%1. 规律总结一个区别曲线y=/U） “在”点Pdo, yo）处的切线与“过"点Pdo,旳）的切线的区别：曲线兀）在点P（xo，旳）处的切线是指P为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为（Xo）,是唯 一的一条切线；曲线y=Ax）过点P（xo, Vo）的切线，是指切线经过P点，点P可以是切点，也可以不 是切点，而且这样的直线可能有多条.两种法则（1） 导数的四则运算法则.（2） 复合函数的求导法则.三个防范1. 利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆.2. 要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别.3・正确分解复合函数的结构，由外向內逐层求导，做到不重不漏.【考点模拟】%1. 扎实基础1. 【湖南师大附中2013届高三第六次月考】曲线v = lgx在x = l处的切线的斜率是( )1A. lnlOB. In 10C.-lgelg@2. 【广东省患州市2013届四月高三第一次模拟考试】设P为曲线C： y = x2+2x+3的爲 且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为则点P横坐标的取值范围为()A.c. [051]D.3. [2017年云南省第二次高中毕业生复习统一检测】曲线y = —l)(x-2)-31nx在点(1,0)处的切线方程为( )(A) 4x-y-4 = 0 (B) 4兀+ y-4 = 0(C) 3x — y — 3 = 0 (D) 3x+y — 3 = 04. 【广西百所高中2017届高三年级第三届联考】已知曲线必=2-丄与”二x3-x2+2x在xx = x0处切线的斜率的乘积为3,则观的值为( )A.・2 B. 2 C. - D. 125. 【广西百所高中2017届高三年级第三届联考】经过曲线/(%) = x2(x-2) +1上点(1,/(1))处的切线方程为( )A.兀+ 2〉一1 = 0 B. 2兀+〉一1 = 0 C.兀一 y + l = 0 D.兀+〉一1 = 06. 【山东省烟台市2012-2017学年度第一学期模块检测】曲线y = (1)v在兀=0点处的切线方程是( )■ 2A. x+yln2-ln2 = 0 B. xIn2 + ^-1 = 0 7. 【山西省2012-2013年度高三第二次诊断考试】曲线》=/在点(2,云)处的切线与坐标轴所围成的三角形 的面积为()A. e2 B. 2/ C. 4/ D.・■22 18. 【北京东城区普通校2012-2013学年高三第一学期联考器曲线>=討 +兀一专的某一切线与直线v = 4x+3平行，则切点坐标为 ，切线方程为 ・9. 【广州市2017届高三年级1月调研测试】若直线y = 2兀+加是曲线y = x\nx的切线，则实数加的值为 .10. [2017安徽省省级示范性高中名校高三联考】函数f(x) = ex-cosx的图像在点A(0,/(0))处的切线方程是 .%1. 能力拔高11. [2017年“江南十校”高三学生第二次联考(二模)测试】若曲线y = xsin% + l在点(-,- + 1)处的切线与直线处+ 2y + l= 0互相垂直，则实数m=( )A. -2 B. -1 C. 2 D. 112. 【河北省保定市2017年高三第一次模拟考试】设函数f (x) = I sinx I的图象与直线y==kx (k>0)有且仅有三个公共点，这三个公共点横坐标的最大值为Q,则Q等于()A.—cosQ B. tanOC C. sinOC D.兀13. [2017年安徽省马鞍山市高中毕业班第二次教学质量检测】若Q是/(x) = sinx-xcosx在(0,2龙)内的一。