浅谈积分因子与首次积分摘要：本文先给出了微分方程中的积分因子、首次积分以及特征方程的相关定义并 加深理解，后引出全微分方程积分因子存在的充耍条件以及与Z相关的两类重要命题， 灵活的将用积分因子解微分方程的方法与偏微分方程首次积分联系起来，为求特殊积分 因子提供了方便，最后应用性的求出了常见的儿类微分方程的积分因子.关 键词：微分方程；积分因子；首次积分；特征方程；偏微分：合分比Introduction to integral factor and the points for the first timeChen Xueyun(School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University 741000)Abstract This paper firstly presents the definition of the integral factors .first integral in differential equation and the characteristic equation and leads to the necessary and sufficient condition for the existence of all the integrating factor of differential equation as well as in connection with the two important types of proposition, Then it provides conveniences for special integral factor by combining the method of integral factor to solve differential equations with partial differential equation flexibly,Finally it finds out the integral factor of some types of differential equations via application.Keywords Differential equationsjntegrating factor,For the first time points,Characteristic equation, Partial differential,points than0引言 11相关概念 11.1积分因子 11.2首次积分 21.3特征方程（组） 22预备知识 23问题的引入 34有关积分因子存在的充要条件的两类命题 54. 1命题一 54・2命题二 75儿类常见微分方程的积分因子 85. 1可分离变量的微分方程 85・2 齐次弓玫分方程 95. 3线性微分方程 105.4 Bornoulli 微分方程 106小结 12参考文献 13致 谢 14数学与统计学院2013届毕业论文浅谈积分因子与首次积分0引言在微分方程的学习中，微分方程的求解是至关重要的，并且对于不同类型的微分方 程可以给岀不同的解法.Euler曾在他的论文中指出：凡是可用分离变量法的地方都可 以用积分因子法，这就启示我们要更多的了解和学习积分因子法•而这其中恰当微分方 程就可以通过积分的方法求出，但并非所有的微分方程均为恰当微分方程，于是如何将 一个非恰当微分方程转化为恰当微分方程，让求其通解变得简单？将是一个很显眼的问 题，对此本文就特殊积分因子的求法引进了首次积分法，并加以论证运用.1相关概念1.1积分因子定义1对于下而的一阶方程(XX现把它写成微分的形式f^y)dx-dy = 0或者把兀」平等的处理，写成具有对称形 式的一阶微分方程，如下M (x, y)dx 4- 7V(x, y)dy = 0, (1. 1. 1)其中M (x, y)和N (x, y)是关于兀,的连续函数且具有连续的-一阶偏导数,(x,y)eD, D为 单连通区域.这样如呆存在连续可微的函数“ =Z/(x, y)工0 ,使得“(兀，刃M(x,y)d 址“O,y)N(;r,y)d 尸0,为一恰当微分方程,即存在函数w(x,y),使“血+吨三如諛+諛则称心刃为方程(1. 1.1)的积分因子. 数学与统计学院2013届毕业论文1・2首次积分定义2对于一般的常微分方程组牛=久（兀，）1,儿,…，儿）， ax= Z?（x，yi，）‘2,…，儿），(1.2. 1)< ax牛=（兀，）1，儿，…，儿）•dx其中,右端函数/“，…/:都在某个域G内连续.设函数①=①O,）［,旳,儿）在域G内连续可微，且①=①（x, ）1,儿，…，儿）主const, 如果以方程组的（1・2・1）的任一解），）（： = 1,2,…〃）代入函数①时，使得函数 ①=0）（x,yx（x）,y2（x）,（x）） = const （其中co血为任意常数）,且此常数与兀无关,同 时此常数值随不同解而异，则称表达式①二①（兀,）［,儿，…,儿）=const为方程（1. 2. 1）的一个首次积分,有时也 称①（兀,）1, y 2,…，儿）为首次积分.1.3特征方程（组）定义3对于一阶齐次线性偏微分方程工出（州,吃,.1=1=0,(1.3.1)其中x“2,…心是自变量，"是旺宀，…心的未知函数，超攵= 1,2,---,/1）—= 0为 域O内相应的己知函数，则常微分方程组(1.3.2)称为一阶齐次线性偏微分方程（1.3. 1）的特征方程组，也称特征方程.2预备知识引理⑴函数“（兀刃是方程M （x,y）dx + N（x,y）dy = 0的积分因子的充要条件是 (2. 1)d(juM) _d(^N) dy ox现在对(2. 1)式做如下变形耐屯*“坐"丝+ “烫dy dy dx dx宀M%dx dydMdN]dy“，则可得到如下以“为未知函数的一阶线性偏微分方程(2.2)n8^L_m^L = 8M_cNdx dy dy dx3问题的引入通过对常微分方程的学习，我们了解了一阶微分方程的各种解法，其中对丁恰当 微分方程Ma,y)d% + N(x,y)dy = 0我们可以通过积分求岀它的通解，但是在学习研究中 所遇到的微分方程大多并非全微分方程，于是我们引进了积分因子，以便更好的将一个 非恰当微分微分方程转化为恰当微分方程，对于一般的积分因子我们可以通过观察法、分组法、公式法等来求解，那么对丁•特 殊的乂当如何呢？能否关联到有关偏微分方程的理论呢？下面的定理告诉我们这是肯 定的.定理⑵一邛介微分方程M^y)dx^N^y)dy = 0有可求的积分因子o方程(2. 2)的 特征方程有可求的首次积分.证= 由引理我们知道如果存在函数A(x, >0 ,使“(x, y)M (x, y)d 址“(x, y)N(x, y) = 0为全微分方程，则有方程(2.1)成立，而方程(2.1)乂与偏微分方程(2. 2)等价，所以想 要求解微分方程(1. 1. 1)关键是要求出积分因子。
兀,刃，而要求岀积分因子"(如刃 的关键是求解(2. 2)式即偏微分方程__ <51n a „x d\n li dM dNN 一 M = ,dx dy dy dx 八 ! T 6M dN现在令 t = \njLi, T =— —,oy ox则方程（2. 2）可变形为如下偏微分方程dt ctN M — = T ,dx dy由定义3现在可以写出（3. 2）的特征方程dx _ dy _ dt所以求解积分因子“（x, y）的关键就在于求出（3.3）的首次积分，假设现在求出特征方程（3. 3）式的两个首次积分（x, y, t） =ct,（x, y, t）二C2，并且让它们相互独立，即雅可比行列式M %D（仞 ％ = & 彷 HQ,Z）（x,y） 坐 d（p^ ， dx dy那么，若①（如02 =0，并能从①5 02 =0中确定函数/ = In// =（p{x.y）,则①（如 =0为方程（2. 2）的通解.u）假设特征方程（3.3）存在首次积分 g y,f） = c 2为常数）,由 / = ln“（x,y） = 0|（x,y）可得 “（尢,刃=严"）・丄 < 、八、_ _ 51n li d\n li dM dN 八、把“（x, y）=刃Z）代入N - M —=---—,经验证成立.ox oy oy ox故“（兀,y）M（x, y）d址“（x, y）N（x, y） = 0是一个全微分方程，并且“（兀,y）(3. 1)(3.2)(3.3)(3.4)为方程M （x, y）dx + N（x. y）dy = 0 的一个积分因子.例1用首次积分求解方程组v一一解首先将两式相比可得异,即 xdx - ydy = 0对上式积分我们就可以得到方程组的一个首次积分2 2中\=x -y =q.再次将两式作差得到_(x_y)(x—y)2d +/(x - y)d (x - y) = 0.对上式关于(x-y)积分可得1 / 、2 i//2 =t + -(x-y) =c2.下面根据定理以及(3. 4)式验证首次积分匕与血的相互独立性,因为D叽中j二D(x,y) 一6中\讪、5x dydi//2 di//2dx dy=一2(兀一刃2工0,故首次积分f与02是相互独立的，因而原方程组的通解为.2 .2 x -y4有关积分因子存在的充要条件的两类命题4. 1命题一对一阶微分方程(4. 1. 1)M(X, y)dx + Ng y)dy = 0,(兀,y) e DD为单连通区域，其中M(x,y)和N(x,y)是关于I的连续函数且具有连续的一阶偏导5数，若存在只与x有关的函数PM,使得p（x）彳譽-譽］”成立，则方程（4. 1.1）存在只与兀有关的积分因子“二/心）=/叫皿，证（方法一）对于方程（4.1.1）,由题设条件知，若存在只与兀有关的积分因子"，则給0.这时方程变为即进而得到N虫-=dx 8y I dydM 6N\dM dNdM dNdx丿“，(4. 1.2)(4. 1. 3)这里P（x）仅为x的函数，现在对方程（4.1.3）两边同时积分，可以求得方程（4.1.1 ）的 一个积分因子“ =/心）=尹皿・（方法二）由定理以及证明过程可知，设函数“（兀*）为方程（4.1.1）的积分因子, 那么它必满足偏微分方程（3. 2）和特征方程现在将条件P（x）二得dx _ dy _ d\n jLt(尢)* Ng y)并代入(4. 1.4),(4. 1.4)对上式积分可得首次积分为\n^=\p（x\lx .从而可得方程（4. 1. 1）的一个积分因子^P{x)dx 4. 2命题二对一阶微分方程(4. 2. 1)M (兀,y)dx + N(x, y)dy = 0, (x, y) e DD为单连通区域，其中M（兀,y）和N（x,刃是关于圮V的连续函数且具有连续的一阶偏导数，若存在只与『有关的函数Q（y）,使得P（x）二dM dN-M成立，则方程（4.2。