电工电子技术：4.3 戴维宁定理和诺顿定理

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1、4.3 戴维宁定理和诺顿定理工程实际中，常常碰到只需研究某一支路的电压、电流或功率的问题。对所研究的支路来说，电路的其余部分就成为一个有源二端网络，可等效变换为较简单的含源支路(电压源与电阻串联或电流源与电阻并联支路), 使分析和计算简化。戴维宁定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方法。下 页上 页返 回1. 戴维宁定理任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说，总可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置换；此电压源的电压等于外电路断开时端口处的开路电压uoc，而电阻等于一端口的输入电阻（或等效电阻Req）。下 页上 页abiu+-AiabReqUoc+-u+-返 回例下 页上 页101

2、0+20V+Uocab+10V1A52A+Uocab515VabReqUoc+-应用电源等效变换返 回I例(1) 求开路电压Uoc(2) 求输入电阻Req下 页上 页1010+20V+Uocab+10V515VabReqUoc+-应用电戴维宁定理 两种解法结果一致，戴维宁定理更具普遍性。注意返 回2.定理的证明+替代叠加A中独立源置零下 页上 页abi+uNAuab+Aabi+uNuabi+AReq返 回下 页上 页i+uNabReqUoc+-返 回3.定理的应用（1）开路电压Uoc 的计算 等效电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零(电压源短路，电流源开路)后，所得无源一端口网络的输入电阻。

3、常用下列方法计算：（2）等效电阻的计算 戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开路电压Uoc，电压源方向与所求开路电压方向有关。计算Uoc的方法视电路形式选择前面学过的任意方法，使易于计算。下 页上 页返 回23方法更有一般性。当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联和Y互换的方法计算等效电阻；开路电压，短路电流法。外加电源法（加电压求电流或加电流求电压）；下 页上 页uabi+NReqiabReqUoc+-u+-abui+NReq返 回 外电路可以是任意的线性或非线性电路，外电路发生改变时，含源一端口网络的等效电路不变(伏-安特性等效)。 当一端口内部含有受控源时，控制电路与受控源必

4、须包含在被化简的同一部分电路中。下 页上 页注意例1 计算Rx分别为1.2、5.2时的电流IIRxab+10V4664解断开Rx支路，将剩余一端口网络化为戴维宁等效电路：返 回求等效电阻ReqReq=4/6+6/4=4.8 Rx =1.2时，I= Uoc /(Req + Rx) =0.333ARx =5.2时，I= Uoc /(Req + Rx) =0.2A下 页上 页Uoc = U1 - U2 = -104/(4+6)+10 6/(4+6) = 6-4=2V求开路电压b+10V4664+-UocIabUoc+RxReq+ U1 -+ U2-b4664+-Uoc返 回求电压Uo例2解求开路电压

5、UocUoc=6I+3II=9/9=1AUoc=9V求等效电阻Req方法1：加压求流下 页上 页336I+9V+U0+6I36I+9V+U0C+6I36I+U+6IIo独立源置零U=6I+3I=9II=Io6/(6+3)=(2/3)IoU =9 (2/3)I0=6IoReq = U /Io=6 返 回方法2：开路电压、短路电流(Uoc=9V)6 I1 +3I=96I+3I=0I=0Isc=I1=9/6=1.5AReq = Uoc / Isc =9/1.5=6 独立源保留下 页上 页36I+9V+6IIscI1U0+-+-69V3等效电路返 回 计算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法还是开路、

6、短路法，要具体问题具体分析，以计算简便为好。求负载RL消耗的功率例3解求开路电压Uoc下 页上 页注意10050+40VRL+50VI14I150510050+40VI14I150返 回求等效电阻Req用开路电压、短路电流法下 页上 页10050+40VI150200I1+Uoc+Isc10050+40VI150200I1+Isc50+40V50返 回已知开关S例41 A 2A2 V 4V 求开关S打向3，电压U等于多少。解下 页上 页UocReq550VIL+10V25AV5U+S1321A线性含源网络+-5U+1A24V+返 回任何一个含源线性一端口电路，对外电路来说，可以用一个电流源和电

7、阻的并联组合来等效置换；电流源的电流等于该一端口的短路电流，电阻等于该一端口的输入电阻。4. 诺顿定理一般情况，诺顿等效电路可由戴维宁等效电路经电源等效变换得到。诺顿等效电路可采用与戴维宁定理类似的方法证明。下 页上 页abiu+-AabReqIsc注意返 回例1求电流I求短路电流IscI1 =12/2=6A I2=(24+12)/10=3.6AIsc=-I1-I2=- 3.6-6=-9.6A解求等效电阻ReqReq =10/2=1.67 诺顿等效电路:应用分流公式I =2.83A下 页上 页12V210+24V4I+Isc12V210+24V+Req210I1 I24I-9.6A1.67返

8、回例2求电压U求短路电流Isc解 本题用诺顿定理求比较方便。因a、b处的短路电流比开路电压容易求。下 页上 页ab36+24V1A3+U666Iscab36+24V3666返 回下 页上 页求等效电阻Reqab363666Req诺顿等效电路:Iscab1A4U3A返 回下 页上 页若一端口网络的等效电阻 Req= 0，该一端口网络只有戴维宁等效电路，无诺顿等效电路。注意若一端口网络的等效电阻 Req=，该一端口网络只有诺顿等效电路，无戴维宁等效电路。abAReq=0UocabAReq=Isc返 回4.4 最大功率传输定理一个含源线性一端口电路，当所接负载不同时，一端口电路传输给负载的功率就不同

9、，讨论负载为何值时能从电路获取最大功率，及最大功率的值是多少的问题是有工程意义的。下 页上 页i+uA负载应用戴维宁定理iUoc+ReqRL返 回RL P0P max最大功率匹配条件对P求导：下 页上 页返 回例RL为何值时能获得最大功率，并求最大功率求开路电压Uoc下 页上 页解20+20Vab2A+URRL1020+20Vab2A+UR10UocI1I2返 回求等效电阻Req下 页上 页由最大功率传输定理得:时其上可获得最大功率20+IabUR10UI2I1+_返 回最大功率传输定理用于一端口电路给定,负载电阻可调的情况;一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于端口内部消耗的功率,因此当负载获

10、取最大功率时,电路的传输效率并不一定是50%;计算最大功率问题结合应用戴维宁定理或诺顿定理最方便.下 页上 页注意返 回 4.5* 特勒根定理1. 特勒根定理1 任何时刻，一个具有n个结点和b条支路的集总电路，在支路电流和电压取关联参考方向下，满足:功率守恒 任何一个电路的全部支路吸收的功率之和恒等于零。下 页上 页表明返 回4651234231应用KCL:123支路电压用结点电压表示下 页上 页定理证明：返 回下 页上 页46512342312. 特勒根定理2 任何时刻，对于两个具有n个结点和b条支路的集总电路，当它们具有相同的图，但由内容不同的支路构成，在支路电流和电压取关联参考方向下，满

11、足:返 回下 页上 页46512342314651234231拟功率定理返 回定理证明：对电路2应用KCL:123下 页上 页返 回例1 R1=R2=2, Us=8V时, I1=2A, U2 =2V R1=1.4 , R2=0.8, Us=9V时, I1=3A, 求此时的U2解把两种情况看成是结构相同，参数不同的两个电路，利用特勒根定理2下 页上 页由(1)得：U1=4V, I1=2A, U2=2V, I2=U2/R2=1A+U1+UsR1I1I2+U2R2无源电阻网络 返 回下 页上 页+4V+1A+2V无源电阻网络 2A+4.8V+无源电阻网络 3A返 回 例2解已知： U1=10V, I

12、1=5A, U2=0, I2=1A下 页上 页+U1+U2I2I1P2+P返 回应用特勒根定理：电路中的支路电压必须满足KVL;电路中的支路电流必须满足KCL;电路中的支路电压和支路电流必须满足关联参考方向； （否则公式中加负号）定理的正确性与元件的特征全然无关。下 页上 页注意返 回4.6* 互易定理 互易性是一类特殊的线性网络的重要性质。一个具有互易性的网络在输入端（激励）与输出端（响应）互换位置后，同一激励所产生的响应并不改变。具有互易性的网络叫互易网络，互易定理是对电路的这种性质所进行的概括，它广泛的应用于网络的灵敏度分析和测量技术等方面。下 页上 页返 回1. 互易定理 对一个仅含电

13、阻的二端口电路NR，其中一个端口加激励源，一个端口作响应端口，在只有一个激励源的情况下，当激励与响应互换位置时，同一激励所产生的响应相同。下 页上 页返 回l 情况1 激励电压源电流响应当 uS1 = uS2 时，i2 = i1 则端口电压电流满足关系：下 页上 页i2线性电阻网络NR+uS1abcd(a)线性电阻网络NR+abcdi1uS2(b)注意返 回证明:由特勒根定理：即：两式相减，得：下 页上 页返 回将图(a)与图(b)中端口条件代入，即:即：证毕！下 页上 页i2线性电阻网络NR+uS1abcd(a)线性电阻网络NR+abcdi1uS2(b)返 回l 情况2 激励电流源电压响应则

14、端口电压电流满足关系：当 iS1 = iS2 时，u2 = u1 下 页上 页注意+u2线性电阻网络NRiS1abcd(a)+u1线性电阻网络NRabcd(b)iS2返 回l 情况3 则端口电压电流在数值上满足关系：当 iS1 = uS2 时，i2 = u1 下 页上 页激励电流源电压源图b图a电流响应电压图b图a注意+uS2+u1线性电阻网络NRabcd(b)i2线性电阻网络NRiS1abcd(a)返 回 互易定理只适用于线性电阻网络在单一电源激励下，端口两个支路电压电流关系。 互易前后应保持网络的拓扑结构不变，仅理想电源搬移；互易前后端口处的激励和响应的极性保持一致 （要么都关联，要么都非

15、关联)；含有受控源的网络，互易定理一般不成立。应用互易定理分析电路时应注意：下 页上 页返 回例1求(a)图电流I ，(b)图电压U解利用互易定理下 页上 页16I+12V2(a)416I+12V2(a)4(b)124+U66A(b)124+U66A返 回例2求电流I解利用互易定理I1 = I 2/(4+2)=2/3AI2 = I 2/(1+2)=4/3AI= I1-I2 = - 2/3A下 页上 页2124+8V2IabcdI1I2I2124+8V2Iabcd返 回例3测得a图中U110V，U25V，求b图中的电流I解1利用互易定理知c图的下 页上 页U1+U2线性电阻网络NR2Aabcd(

16、a)52A+I线性电阻网络NRabcd(b)(c)+2A+线性电阻网络NRabcd返 回结合a图，知c图的等效电阻：戴维宁等效电路下 页上 页Req(c)线性电阻网络NRabcd55+5VabI返 回解2应用特勒根定理：下 页上 页U1+U2线性电阻网络NR2Aabcd(a)52A+I线性电阻网络NRabcd(b)返 回例4问图示电路与取何关系时电路具有互易性解在a-b端加电流源，解得：在c-d端加电流源，解得：下 页上 页131+UIabcdI+ UIS131+UIabcdI+ UIS返 回如要电路具有互易性，则：一般有受控源的电路不具有互易性。下 页上 页结论返 回4.7* 对偶原理 在对偶电路中，某些元素之间的关系(或方程)可以通过对偶元素的互换而相互转换。对偶原理是电路分析中出现的大量相似性的归纳和总结 。下 页上 页1. 对偶原理根据对偶原理，如果在某电路中导出某一关系式和结论，就等于解决了和它对偶的另一个电路中的关系式和结论。2. 对偶原理的应用返 回下 页上 页+_R1R n+_u ki+_u1+_unuRkinR1R2RkRni+ui1i2ik_例1串联电路和并联电路的