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1、教学反思：对概念的理解应成为教学设计工作的核心海南华侨中学张红既然我们要为学习而设计教学，教学设计就应该是在分析概念的核心的基础上，根据学 生的思维发展需要，提出现阶段要达成的目标；分析达成目标已经具备的条件和需要怎样的 新条件，从而做出教学问题诊断；根据上述分析进行教学过稈设计；最麻做出目标检测设计 这样一个设计方案.作为教学设计者如果对核心概念在数学理解上不深，就很难对内容进行解析，从而影 响目标制定的准确性，对教学问题的诊断很难切合实际，结果是教学设计中不可避免地会出 现许多问题.“中学数学核心概念、思想方法及其教学设计研究”课题组2007年5月在浙 江省黄岩中学进行的课堂教学实践研究中
2、也充分揭示了这一点.因而加强对核心概念的深入 理解应该成为教学设计的核心T作.下面结合算法的概念教学设计及其实际课堂实践对 此作进一步的阐述.一、对概念的理解有利于教学目标的准确定位.1=1标的达成与否可以作为衡量一节课的成功与否的标准；而目标是否清晰又可以看作是 影响木节课成败的肓接因素.只有对核心概念和思想方法的内涵和外延，以及它们的发展历 史有着深入的理解，才能挖掘其中蕴涵的思想性，从而对教学目标作出清晰而具体的界定.反 Z,对内容理解的不到位，很难对目标进行具体的细化.例如在算法的概念教学设计中 “要求了解算法的含义”，这是课程标准的要求，是中学数学对算法的总体要求.对算法概 念起始课
3、而言，bl标太过笼统，不好操作，这是对“算法”这一核心概念没有深入理解所造 成的.“在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤.现在, 算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题 ”算法概念中的范围限定词“在 数学中”，这可以看作是概念的外延，表明学习的内容均为数学中的问题；而基木特征词“步 骤”揭示了算法的顺序性；“按照一定规则”指的是解决具体问题时的依据和表达方式， 关注的是算法的基木逻辑结构；“解决某一类问题”，强调的是算法的研究价值以及它的普 遍适用性，也表明特殊问题的解题与一般问题的算法，存在联系又有区别“明确和有限”， 表示算法的每一步都是明确的、可
4、执行的，总的步骤是有限的.由此可见，算法的内涵与外延相当丰富，因而一节课根本不可能“了解算法的含义”， 只能部分了解，分层次了解，通过木章的学习螺旋上升式了解比如木节课只要求“通过具 体的实例，了解算法的顺序性和有限性”而对“明确性和有效性”和“按照一定规则”以 及算法的基本逻辑结构放在后面儿节课了解，而且，不能“进行多个算法的比校”基于上述分析，木节课的教学目标可以具体化：(1) 在解特殊二次一次方程组、一般二元一次方程组的解法的过稈中，理解算法是“步 骤”即有序性；(2) 从解特殊的二元一次方程组到一般二元一次方程组的解法的过稈中，理解算法是 解决“一类”问题而非“一道”问题，即普遍性；(
5、3) 在判定7, 35和整数n (nl)是否为质数的过程中，学习算法的自然语言表示.(注 意：不要出现“馬=舄+ 1”这样的赋值语句)(4) 在用二分法求方程一个近似解的算法的过程中，体会算法自然语言描述形成的过 程，会初步用自然语言描述算法.二、对概念的理解有利于教学问题的诊断.数学学习过程貝能按照时间先麻顺序，但数学理解却是非线性的.在理解过程中涉及到 两个方血的建构，一是处理新111知识的联系，产生一个新III知识的特定概念关系；二是组织 起相应的关系结构，以利于新知识的存储和回忆.在算法的概念教学中，算法是解决一般(一类)问题的，即不进入到一般问题的层 面就得不到算法，而一般问题往往远
6、离学生原有的基础，从“一道”题的解法过度到“一类” 题的解法，在理解上有一定的跳跃性，学生所需知识准备，即对新知识的依托比较薄弱，会 产生学习困难，而且“解法”又干扰对“算法”的理解，因此，这是木节课的教学难点乙一因 而需要通过搭建解决特殊问题这一台阶，帮助学生进入一般问题.从而“写出具体的二元一 次方程的解的步骤,如果毎一个方程都要这样写有点劳民伤财，即使编制成程序也毫无意义, 因而必须寻求一般方程的解法.”可以看作是从具体到一般的内在逻辑动力.结论：对数学内容的深入理解能准确估计教学难点所在，从而作出正确的教学诊断.这 也是教学设计的意义所在.三、对概念的理解有利于教学情境的创设数学课上的
7、情境创设应该为学生学习数学服务，应该让学生用数学的眼光关注情境，应 该为数学知识和技能的学习提供支撑，为数学思维的发展提供土壤.当前在教学设计上有一 种误区，那就是“为了情境而情境”，还美其名曰“体现新课程理念，激发学生兴趣”在 算法的概念教学设计中教师模仿电视台一档节目：幸运52,猜教师的笔记木电脑 价格，并对猜中的同学奖励一木书，耗时7、8分钟.我们不禁要问：情境创设到底为哪般？ 这样的情境创设,若放在“二分法”起始课还是比较合适，放在算法起始课,虽然气氛Z热 烈是空前的，可对理解算法无任何实质性帮助，而且课浪费了许多时间，使得后面教学任务 完不成.其实教材的章头图若能充分挖掘，是很有价值
8、的：章头图中的后景取白宋朝数学家朱世杰的数学作品四元玉鉴，前景后部是盛行一时 的计算工具有算筹、算盘.教学中可以介绍中国古代数学一度领先世界，蕴涵了丰富的 算法思想.章头图的前景前部是一台计算机，这可谓20世纪最伟大的发明，而算法是计算机科学 的重要基础，随看社会的发展，算法在科学技术、社会发展中发挥越来越大的作用.进而指出算法对我们并不陌生，接下来可以举些例了引出算法的概念.四、对概念的理解有利于对例、习题的选取.例题、习题的设计与安排是为了巩固概念，加深对内容的理解，在概念引出示安排几个 题目巩冏概念是必须的.但例题的安排要防止两种倾向，一是与当前内容的脱节，二是防止 题目太难，太技巧化.
9、在算法概念教学设计中，从具体的和一般的二元一次方稈组引出算法 的概念后，安排例1 “写出交换两个大小相同的杯子中的液体（A水、B酒）的一个算法” 这样的例题是不恰当的.因为，我们既然是在数学中讲算法，在概念揭示Z后再安排这样的 例题，可能使问题泛化.再如例2“关于求只-2-1 = 0二分法的算法”，设计偏难， 太过技巧化，因为这一节课不是讲二分法，而是借助二分法这一个载体来理解算法的含义, 体会（木节课仅要求体会，不必深挖）条件分支的基木逻辑结构从课堂学生反馈来看，大 部分学生不能正确作答，I大1为部分学生对此题的用二分法求解有所遗忘，在教师讲解此题时 学生的注意力在二分法，而不是“体会其中的
10、算法” 一般来说，例习题的选取应该考虑这几个问题：（1）是否与当前内容有关？这是最关 键的,有些题目学生不会不是因为当前内容不懂，而是因为前面知识的遗忘或其它的原因这 不仅会妨碍教学的流畅，而且会挫伤学生的学习热情；（2）是否理解概念还是有其他的技 巧？应以理解概念为主，如果还有其他的技巧建议放在习题课解决；（3）是否可以改成其 他的题目？ 一般认为只要说明问题，题目选择越简单越好.结论：（1）例题1交换杯子问题应略去；（2）例题2求二分法的算法中方程简单一些比较好，可以该成云一2 = .五、认真钻研教材能够加深对核心概念的理解.新课程强调“用教材教，而不是教教材”这种理念是对的，但我认为这有
11、一个过程，在 现阶段对教材的研究仍应为教师的一个基本功.在2007年2月在浙江省新课程骨干教师培 训上做的一个调杏也说明了这一点，99%的教师手头有课标，而只有64%的教师对课 标非常了解，显然，对课稈标准还有待进一步学习，因而“教教材”依然是当前主流.对教材的深入挖掘不仅能深入理解概念的内涵和外延，而且可以最大限度的发挥它的价 值.例如教材例题1:设计一个算法，判断7是否为质数.能否设计一个算法，判断35是 不是质数？我们可以从以下作一点思考：（1）为什么选择这两个具体整数?使学生体会如何用白然语言写算法步骤,并由此发现，尽管这两个整数的算法步骤 不一致，但隐含的本质是一样的.（2）在判断7
12、是否为质数时，总共有5个步骤，每一步写法基木相同，为什么书上还 是不厌其繁的一步一步的去写？学生在学习过程中可能怎样操作？如果放手让学生自己去写，学生可能只写出一两步，下面几步可能用“同理”，也 可能用“”代替，这是理解“确定性”的好素材.由于“”的不确定性，计算机执行 不了，与算法的“明确性”相悖，因而不能表示一个算法.也就是说“”是探究后面问 题的动力Z源.（3）如何利用此题理解算法含义？由具体整数到n,体现由“一道”到“一类”题的飞跃；学生书写过程中的“” 可以说明算法应该有“确定性”；以及步骤的有序性等.（4）在要求上控制到何种难度？不要在“优化”算法上做文章；不要出现这样赋值语句.下
13、面给出对此例题处理的一种方式：例题 写出判断7是否为质数的步骤.什么是质数？（引导学生冋忆质数概念）问题2如何判断一个数是不是质数？（有些学生可能将简单问题复杂化，想到有什么 技巧方法？）如何把判断过稈的基木步骤仃条理的写出来?给学生写出判断过稈的时间，请学生完成.教师展示学生书写.可能出现的情况有：“同 理”；“”这些是说明算法明确性的好素材.把7改成35,再写出判断过稈的基木步骤，两个解法有何相同Z处？有何不同问题5把35改成37呢？（促使学生不愿写，这是寻找一般方法的动力Z源）这些步骤每步在形式上有什么特点？（重复）问题7任意给定一个大于2的整数n,能否设计一个算法对n是否为质数做出判断
14、?问题8你是如何理解算法的？算法有些什么特点?木文是“中学数学核心概念、思想方法及其教学设计研究”课题成果.数学归纳法教学的反思海南华侨中学 张红 参加木次课题研讨会，深刻体会到随着课题研究的进一步深入，对中学数学核心概念 和思想方法结构体系的认识，会深深地影响教师的教学设计，进而影响教学过程。在木次研 讨会上，分别有两位老师上了数学归纳法一课的课，从教学的课例反映出教师对问题的 不同认知，就会产生不同的教学行为。这两节课给了我们很多的启示，针对数学归纳法这一 课例，谈谈H己的一点反思考。一、什么是思想？什么是方法？所谓思想是客观存在反映在人的意识中，经过思维活动而产生的结果。所谓方法是解决
15、问题的门路、稈序等。那么数学归纳法究竟是一种思想还是一种方法？其实解决问题的门路、 稈序都需要一定的思想为基础，正确的思想有助于研究掌握正确的方法。因此数学归纳法应 该是在数学思想指导下的数学论证推理的一种重要的证明方法,用这种方法可以对由归纳法 作岀的一些结论给予证明。由于数学归纳法具有一定的操作规范和程式，数学归纳法作为一 种数学方法来认识丿W该是正确的。可以说数学归纳法是一种伟大的、数学独有的证明方法。 它有别于物理、化学等实验学科，对于数学真理的探索，有时是不能靠实验的办法来实现的。 例如我们要判断“力个正方形都可以剖开成有限块，再拼成一个正方形”这个命题是否正确, 像物理学等一般实验学科的做法可会取2个、3个、4个、，萇至100个正方形作试验。 如果都正确，虽然可能不知道等于101以后的结论是否正确，那么就会认为这个结论在目 前是正确的，这就像牛顿经典力学那样，是在一定的范围内正确一样。不同的是，数学学科 对真理的追求与实验学科是不一样的，数学追求的是纯粹的真理，像对于个正方形都可 以剖开成有限块，再拼成一个正方形”是否正确，我们思考的不仅是具体的E，2, 3, 4, 我们思考的是对任意的自然数命题是否正确，而数学的思维合理、符合逻供而又独一无二。 对于这个问题我们只要对刀作数学归纳，严1是命题当然成立。当尸2时，如图1,根据勾 股定理，我们很容易知道，任意两个
