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1、一阶微分方程的 习题课 (一)一、一阶微分方程求解二、解微分方程应用问题解法及应用 第十二章 一、一阶微分方程求解一阶标准类型方程求解 关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤三个标准类型可分离变量方程 齐次方程 线性方程 例1. 求下列方程的通解提示: (1)故为分离变量方程:通解(2) 这是一个齐次方程 ， 令 y = u x ,化为分离变量方程:方程两边同除以 x 即为齐次方程 , 令 y = u x ,化为分离变量方程.调换自变量与因变量的地位 ,用线性方程通解公式求解 .化为例2. 求下列方程的通解:提示: (1)令 u = x y , 得(分离变量方程)原方程化为令 y = u t(
2、齐次方程)令 t = x 1 , 则可分离变量方程求解化方程为例3.设F(x)f (x) g(x), 其中函数 f (x), g(x) 在(,+)内满足以下条件:(1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ;(2003考研) (2) 求出F(x) 的表达式 .解: (1) 所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:(2) 由一阶线性微分方程解的公式得于是 例4. 设河边点 O 的正对岸为点 A , 河宽 OA = h, 一鸭子从点 A 游向点二、解微分方程应用问题利用共性建立微分方程 , 利用个性确定定解条件.为平行直线,且鸭子游动方向始终朝着点O ,提示: 如图所示建立坐标系. 设时刻t 鸭子位于点P (x, y) ,设鸭子(在静水中)的游速大小为b求鸭子游动的轨迹方程 . O ,水流速度大小为 a ,两岸 则关键问题是正确建立数学模型, 要点:则鸭子游速 b 为鸭子的实际运动速度为由此得微分方程即( 齐次方程 )定解条件( 自己求解 )( 齐次方程 )设则代入原方程，得积分，得代入定解条件，得练习:已知某曲线经过点( 1 , 1 ),轴上的截距等于切点的横坐标 , 求它的方程 .提示: 设曲线上的动点为 M (x,y),令 X = 0, 得截距由题意知微分方程为即定解条件为此点处切线方程为它的切线在纵
