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1、一一. . 曲面曲面 空间曲线曲面 S 与三元方程 则方程(1)就叫做曲面S的方程,而曲面S就叫做方程(1)的图形。 若有下述关系：(1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程(1);(2) 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1),及曲面都是点的几何轨迹。 第三节第三节 曲面及空间曲线曲面及空间曲线 11、球面方程 （2）解：或在空间解析几何中关于曲面的研究,有下列两个基本问题:(2) 已知曲面的方程，求这方程所表示的曲面的形状。 (1) 已知曲面上点的几何轨迹，求曲面的方程；半径为 R 的球面 S 的方程. 建立球心在 例1 2若球心在原点，则 从而球面的方程为 半径为 R 的球面方程. 方程(
2、2) 就是以 为球心 , (3)例2. 方程 : 表示怎样的曲面?一般地，设有三元二次方程 通过配方可以化成（2）的形式， 那么它的图形就是一个球面。 解: 配方得原方程表示以点(1,-2,0)为球心,以 为半径的球面.试问:球面方程有什么特点?3这条定直线叫做旋转曲面的轴. 一条平面曲线绕该平面上的一条直线旋转一周所成的曲面 叫做旋转曲面， 就是所求旋转曲面的方程。 2. 2. 旋转曲面旋转曲面通常多考虑以坐标轴为旋转轴的旋转曲面.设过 M 点做 z 轴的垂面，与 z 轴交于P（0,0,z）点，交曲线 C 于M1（0, y1 , z）,显然 (4)因为，M1在曲线C上，其坐标应满足 即：P（
3、x,y,z)4设绕 轴旋转所成的旋转曲面的方程为 绕 轴旋转所成的旋转曲面的方程为 设绕 轴旋转所成的旋转曲面的方程为 绕 轴旋转所成的旋转曲面的方程为 设绕 轴旋转所成的旋转曲面的方程为 绕 轴旋转所成的旋转曲面的方程为 面面5旋转轴为 z 轴, 半顶角为 的圆锥面的方程.试建立顶点在坐标原点 O, 解: 在 坐标面上， 或这就是圆锥面的方程。 P例3. 直线L 绕另一条与L相交的直线旋转一周,所得旋转曲 两直线的交点叫做圆锥面的顶点， 面叫圆锥面， 两直线的夹角 叫做圆锥面的半顶角。 让L绕z轴旋转 6解：这两种曲面都叫做旋转双曲面.例4. 面上的双曲线 分别绕 轴和 轴旋转一周, 求所生
4、成的旋转曲面的 将x O z y 方程.(单叶双曲面)(双叶双曲面)图1(如图1)图2(如图2)7 表示母线平行于 轴, 准线是 面上的抛物线 的抛物柱面。 表示母线平行于 轴, 准线是 面上的直线 且过 Z 轴的平面。 动直线 叫做柱面的母线。 定义定义: : 叫做柱面， 定曲线 C 叫做柱面的准线， 形成的轨迹 平行于定直线并沿定曲线C平行移动的直线 3. 柱面8平行于 z 轴的直线 l 是它的母线。 面上的圆 就是它的准线， 圆 在 面： 这曲面叫做圆柱面. 这曲面可以看作是由平行于 z 轴 的直线 沿 面上的圆 平行移动而成, 在三维空间直角坐标系中 方程 表示怎样的曲面?(1).(2
5、).9方程 在空间 直角坐标系中表示： 母线平行于 轴的柱面, 其准线是 面上的曲线 方程 在空间 直角坐标系中表示： 母线平行于 轴的柱面, 其准线是 面上的曲线 方程 在空间直角坐标系中表示： 母线平行于 轴的柱面, 其准线是 面上的曲线 方程中缺哪个字母，母线平行于相应的坐标轴。10方程 在空间直角坐标系中表示： 其准线是 面上的曲(直)线: 母线平行于 轴的柱面, 111.1.空间曲线的一般式方程空间曲线的一般式方程空间曲线可以看作两个曲面的交线. 方程组(1)叫做空间曲线 C 的一般方程.二二. . 空间曲线及其方程空间曲线及其方程 12所以曲线C是圆柱面与平面的交线。 解：表示母线
6、平行于 z 轴的圆柱面, 其准线是 面上的圆 , 在原点, 半径为1.圆心 表示母线平行于 y 轴的柱面, 面上的直线， 其准线是 它是一平面. 例5. 方程组表示怎样的曲线?13方程组就表示上述半球面与圆柱面的交线。 解： 方程组中第一个方程表示球心 在坐标原点，半径为 的上半球面； 第二个方程表示母线平行于 轴的圆柱面， 它的准线是 面上的圆， 圆心在点 半径为 例6. 方程组表示怎样的曲线？ 142. 2. 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程 叫做空间曲线的参数方程。15 设空间曲线 的一般方程为（1） 消去变量 z 得方程 （2） 它必定包含 方程（2）表示一个母线平行于 轴的柱面，
7、 以曲线 为准线、母线平行于 轴的柱面叫做曲线 关于 面的投影柱面。 曲线 投影柱面与 面的交线叫做空间曲线 投影曲线， 或简称投影。 在 面上的 三三. . 空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影投影柱面投影曲线 注：注： 曲线 C 和它的投影都在其投影柱面上。 16方程（2）即 而方程所表示的曲线为空间曲线 在面上的投影。 所表示的柱面即空间曲线 关于 面的投影柱面。 面的投影柱面? 在 面上的投影? 空间曲线 关于 空间曲线 问题： 17于是两球面的交线在 面上的投影曲线方程为 解：从（1）式减去（2）式并化简得： 方程为 再以代入（1）， 柱面， 关于 面的投影 得交线 例7. 已知两球面的方程为 （1）（2）求它们的交线 在 面上的投影方程。 18例8. 设一个立体由上半球面 和锥面 所围成， 面上的投影。 求它在消去z得 因此交线 C 在 面上的投影曲线为 于是所求立体在 面上的投影， 所围成的区域： 面上 就是该圆在 解：C：半球面和锥面的交线为 19
