第三章连续型随机变量及其分布在实际问题中，常常会遇到这样一些随机变量，它们的值域是一个区间(或若干个区间的并)，称这类随机变量为连续型随机变量对于取值在区间上的随机变量，我们不可能把它的取值一一列出，因而不能简单地用表格形式(即概率函数)来研究它的统计规律性如何描述这一类随机变量取值的统计规律性，是本章讨论的主题3.1分布函数在研究一个随机变量时，我们常常关心的不是它取某个值的概率，而是它落在某个区间内的概率一般地，对于一个随机变量X，如果我们需要知道其中的值，则由推得因此，对实数轴上任意一个，若已知的值时，由上式便能算得的值定义3.1给定一个随机变量X，称定义域为的实值函数为随机变量X的分布函数，有时也记作要注意的是，分布函数对任意一个随机变量都是按定义3.1规定的，且对任意的，总有例1已知随机变量，求它的分布函数解由随机变量的概率函数可知，（1）当时，（2）当时，所以分布函数为定理3.1(分布函数的性质)设是随机变量X的分布函数，则有下列性质：（1）；（2）是单调不减的，即当时，有；（3）；（4）对任意一个右连续设离散型随机变量X的概率函数为那么，X的分布函数为这个分布函数在每一个处间断，且间断点处的跳跃度为一般地，对任意一个随机变量X与任意一个实数，我们有下列结论：定理3.2对任意一个随机变量X，X的分布函数在处连续的充分必要条件是：定义3.2给定一个随机变量，称定义域为整个平面的二元实值函数为随机变量的分布函数，或称它为X与Y的联合分布函数。
按照分布函数的定义：其中，区域如图所示一般地，对任意的按照分布函数的几何解释，读者可以自行证明这个结果定理3.3(联合分布函数的性质)设是随机变量的分布函数，则有下列结论：(1)；(2)固定一个自变量的值时，作为一元函数关于另一个自变量是单调不减的；(3)对任意一个y，有；对任意一个x，有；且有(4)固定一个自变量的值时，作为一元函数关于另一个自变量右连续；(5)对任意的有定理3.3的证明从略对分布函数的三个说明：(1)对于离散型随机变量，虽然从原则上说可以利用分布函数来计算事件的概率，但实际上这并不方便，一般应尽可能利用概率函数来计算事件的概率2)分布函数的性质（定理3.1）刻划了分布函数的特征，这就是说，如果某个函数具有定理3.1给出的四条性质，那么它必定是某个随机变量的分布函数同样，定理3.3也给出了联合分布函数的特征性质3)对于n维随机变量，它的分布函数类似地定义为例2设二维随机变量的分布函数为求常数A、B、C的值解由分布函数的性质可知由此解得3.2概率密度函数我们给出随机变量X的分布函数从中我们看到，这个连续性随机变量的分布函数处处连续，且除了个别点外处处可导注意到：从高等数学得知，可以把表达成其中取非负值的函数或则恰是在区间上的定积分。
定义3.3给定一个连续性随机变量X，如果存在一个定义域为的非负实值函数，使得X的分布函数可以表达成那么，称为连续性随机变量X的（概率）密度函数密度函数与分布函数之间的关系如图所示从图形中可知，恰是在区间上的定积分按照分布函数的定义和性质，密度函数必须满足下列两个条件：(1)(2)这两个条件刻划了密度函数的特征，这就是说，如果某个实值函数具有这两个性质，那么它必定是某个连续性随机变量的密度定理3.4(连续型随机变量的性质)设X是任一连续型随机变量，与分别是它的分布函数与密度函数1)是连续函数，且当在处连续时，；(2)对任意一个常数；(3)对任意两个常数有根据微分中值定理和定理3.4，密度函数的取值与概率存在如下关系：即取值于邻近的概率与的大小成正比此处需强调，密度函数取值本身不是概率，由可以看出，密度函数与概率之间的关系犹如物理学中线密度与质量之间的关系由定理3.4的（2）可知更一般地，对于实数轴上任意一个集合S,这里S可以是若干个区间的和、交、并这个公式表明，知道了一个随机变量的密度函数，便能算出任意一个概率正因为如此，密度函数也称为连续型随机变量的分布例4假设随机变量的密度函数为求（1）常数C的值；（2）概率；（3）分布函数。
解（1）由得所以（2）概率（3）当时，当时，当时，所以，分布函数为例5已知的密度函数为求常数C的值解由得所以，3.3常用连续型随机变量下面介绍几种常用的连续型随机变量一、均匀分布设连续型随机变量X的密度函数为通常称这个随机变量X服从区间(a,b)上的(连续型)均匀分布，记作一维情形下的几何概率可以用均匀分布来描述均匀分布的分布函数为：在随机模拟技术中，服从均匀分布R(0,1)的随机变量是最基本的一类随机变量二、指数分布一般地，如果随机变量X的密度函数为那么称这个随机变量X服从参数为的指数分布，记作，其中指数分布的分布函数为指数分布在可靠性理论及排队论中有广泛的应用，因为许多优质产品的寿命常常服从指数分布；某一复杂系统中接连两次故障的时间间隔服从指数分布指数分布有一个性质，称此性质为无后效性：设随机变量，则对于任意的，有因此，假如把X解释为寿命，则上式表明，如果已知寿命长于年，则再活年的概率与年龄无关，所以有人风趣地称指数分布是“永远年青”的分布例1根据历史资料分析，某地连续两次强地震之间相隔的年数X是一个随机变量，它服从参数为的指数分布，现该地刚发生了一次强地震试求(1)今后3年内再次发生强地震的概率；(2)今后3年至5年再次发生强地震的概率。
解(1)所求概率为(2)所求概率为例2假设顾客在银行的窗口等待服务的时间（单位：分钟）；如果某顾客在窗口等待服务的时间超过10分钟他就离开，（1）求这位顾客某天去银行未等到服务而离开的概率；（2）假如他一个月要去银行五次，求他五次中至多有一次未等到服务而离开的概率解（1）所求概率为(2)用Y表示他离开的次数，则，所求概率为三、正态分布(高斯（Gauss）分布)如果随机变量X的密度函数为那么称这个随机变量X服从参数为的正态分布（或高斯分布），记作，其中服从正态分布的随机变量统称为正态随机变量由高等数学的知识不难得到具有下列性质：(1)关于对称；(2)在处有最大值；(3)当时，正态分布在理论上与实际应用中都是一个极其重要的分布，高斯在研究误差理论时曾用它来刻划误差的分布经验表明，当一个变量受到大量微小的、独立的随机因素影响时，这个变量一般服从或近似服从正态分布正态分布的密度函数的图像见下图：上图还给出了参数的一个几何解释：当较大时，函数曲线平坦；当较小时，曲线陡峭四、标准正态分布参数且的正态分布N(0,1)称为标准正态分布,它的密度函数为它的分布函数记作，即由于N(0,1)的密度函数是一个偶函数，因此，由推得：当时，的值可以查附表四得到。
由概率计算过程可得如下公式：当时,其中当时，由于X的分布函数（令）因此通常称这个公式为正态概率计算公式查附表四可以得到例3设，查附表四可以得到例4从南郊某地到北区火车站有两条路可选，一条路线穿过市区，路程短，但交通拥堵，所需时间（单位：分钟），另一条路线沿环线走，路程长，但意外堵塞较少，所需时间（单位：分钟）1）假定有70分钟可用，应选哪一条路线？（2）假定有65分钟可用，应选哪一条路线？解（1）由于所以，应选第二条路线2）由于所以，应选第一条路线例4某人上班所需的时间(单位：分)，已知上班时间为早晨8时，他每天7时出门试求，(1)某天迟到的概率；(2)某周(以五天计)最多迟到一次的概率解(1)所求概率为(2)设一周内迟到次数为Y，则Y为离散型随机变量，且，所求概率为当时，附表四对每一个，给出了的值反过来，给定也可以从附表四查得，使得由，称为标准正态随机变量X的p分位数(见下图)，即.当时，可以直接查表得到当时，由的性质知道例如，当时，。