单刀球进攻问题射门，是足球运动中非常关键的技术环节，其命中率是影响全局的重耍因素 Z-0因此，如何提高射门命中率成为了比赛中的关键它对提高足球运动的观 赏性与时效性有着非常重耍的作用本文通过对射门中种种因素的合理估计，运用大量儿何、代数知识，通过网 格算法，将问题转化成C++程序，运行得到数量可观的数据包，通过纵横比较, 综合分析，试图从中找出和发现一些原则和规律，以期对足球中的运球路线、射 门及守门环节提供专业的建议针对问题一，建立直角坐标系后，从简单的、认可度高的命题岀发，编写程 序，对球场半场的点作了大规模的无差别计算，通过对得岀的大量数据的分析， 找出最符合我们岀发点的数据，以确定最佳进攻路径针对问题二，我们以问题一的结论为基础，建立针对性的防守原则针对问题三，我们综合前面得出的结论给出原则性的建议关键词：单刀球吊射射门角度射门区域二、问题的提出如果以底线为X轴，连接两底线中点为y轴建立直角坐标系，请通过数学建 模解答如下的问题1、 在不考虑防守队员的情况下，进攻球员以什么样的路线前进最有效？考察南 非世界杯进球情况，探讨单刀球的进攻路线，并对丁•场内起始点(x,y)=(2(),30)具 体探讨。
2、 面对进攻球员在某点的射门，请给守门员指出一个好的站位，并对点 (x,y)=(30,20)具体探讨在比赛中我们常常看到，当进攻球员带球离球门较近时, 守门员会扑上去尽量接近进攻球员，这样做是否合理？进攻球员离球门较远，而 守门员弃门而出，企图拦截时，进攻球员通常采用吊门，找出吊射较好的时机3、 给足球运动员的进攻和守门员的防守一些有益建议三、模型的假设1. 假设足球可以看作一个质点，球门门柱可以看作是线2. 假设单刀球进攻的区域只在对方半场进行3. 假设最小考虑运动1米的情况，不考虑更小的距离段4. 假设以运动1米所用的时间为单位时间，不考虑更小的时间段5. 假设单位距离内总是直线带球6. 假设球在空中运动不受阻力、摩擦力等影响四、符号说明1. A、B为球门的左右门柱2. P为球的初始位置3. Aq、分别为运动单位距离后上AMB、ZALB的增量4•一些儿何问题中的点、角度、距离等在具体问题中另行标出五、模型的建立与求解问题一：H前按照国际足联(FIFA)通用的标准规格，国际标准足球场地长105米、宽 68米，我们以此为标准尺寸，按照题冃耍求建立直角坐标系，如图(1)：I O B令球门的左右门柱分别 为 A、B,贝ij A(・3.66,0)、 B(3.66,0),令射门位置为P, 为了表述更清晰，我们另作 简图。
定义“射门角度”为 射门位置与球门左右门柱连 线所成的夹角，即ZAPB；“射门距离”为射门位置与 球门中点的距离，即PO 如图⑵:图(2)：基本定义我们提岀一个命题：相同前提条件下，射门角度与命中率成正相关换句话 说，同样前提下，射门角度越大，命中率越高因此，耍研究射门和度 那么，在射门距离相同的前提下，P在什么位置时射门角度才能最大呢？经 验告诉我们，正对球门的位置射门角度最大利用儿何知识便可以证明如下:证明：如图⑶，分别以OB、0C所在直线为x轴、 y轴建立直角坐标系，令OA=OB=r, OC=OP=R,ZA P=Bx ,山0戶=9(0"<90)，卩的坐标设 为(x, y),则有：x2 +)“ = R2A 2P= (x + r)2 + y2B 2P= (x - r)2 y2图(3):位置与射门角度示意图(x + r)2 + V2 + (兀一 r)2 + y2 一 (2r)2 cosa =2j(X— 厂)2 +)2 J(X +厂)2 +)“ R1 -r1J厂+ R? 一2/7?cos0 J厂2 + R，+ 2/7?cos0r2+/?2)2-4r2/?2cos2^()，2 =r2 _x\x = Rc 凶)图(4)： HiJ*进路线不意图当別曾 c W咔I、a减 ，s, a增、 幽夹则OW点即为a最取ZA C BZAP1,证毕。
有了以上结论，我们便可以开始讨论进攻球员的前进路线假设某一时刻在P点对丿勺的射门角度是 ZAPB,以P为圆心作圆，交OP T M,在圆 上或圆内除M点再任意找一点R,比咬ZARB 和ZAMB的大小，如图(4)我们猜想AAMB是 最大的，即沿PO进攻是最有利路线对此， 我们编写了 C++程序(代码见附录)对在第一彖 限的P点作了初次试探，以验证我们的猜想 其中取圆的半径为单位1, P取第一象限内所 有整数点根据程序生成的数抑包((l).txt)中的数据， 我们绘制出相应的示意图，以解释数据的含义在程序中我们对特殊点留了标志，从输岀的数据中很容易找出其中的特殊 点，如图(5)所示在这些点所围成的区域内，总存在一点/?,使得 ZARB > ZAMB我们可以简单划定AOKF作为这个三角形区AOKF是等腰直 角三角形由于上述程序是在每个圆的外接正方形中等距离取了 50X50个点计算的， 不一定能找到最优解我们需要对其检验我们乂对R在AP与圆的交点的情况 作了分析令此交点为L,则有ZALB,我们对它和ZAM〃进行比较从程序生 成的数据包((2). txt)的数据显示，ZALB > ZAMB □接着我们对所有的P点做了同样的数据分析，发现了不符合上述结果的点， 这些点集中在0 v兀v 3.66区域。
通过综合上述分析，有如下结论：对于第一象限的任意点P(x, y),当0 v x < 3.66时，设M为P0上的点，M与A、 B所成的角最大；当X〉3.66时，设L为PA上的点(xz >3.66), L与A、B 所成的角乙4LB最大 卜面我们对P(20, 30)作具体讨论以下是数据包中的数据:表(1)：点P(20, 30)在数据包中的数据dZAMB△aZALB19. 962750.2930219.976590.308351210. 25580.31079310. 28490.327794310. 56660.33023410.61270.349113410. 89680.35155810. 96180.372552511.24840.37501911. 33440.398399611.62340. 4009111. 73280. 42699712. 02430.42958112. 15980. 45872812.45390.46144312. 61850.494058912.91530. 4969913. 11260.5335591013.41230.53681113. 64610.5778911113. 94910.58162114. 2240.6278531214. 53070. 6322914. 85190.6844151315. 1630.68988615. 53630.7487571415. 85290.75573116. 2850.8223221516.60860.83147917. 10740.9068951617.44010. 91921918. 01431.004691718. 35931.0216219.01891. 118471819. 3811. 1421320. 13741.251731920. 52311.2852721. 38911.408862021.80841.4570822. 7981. 59552123. 26541.6656924. 39351.818812224. 93111.9223426. 21232.087962326. 85352. 242828. 30032.414632429. 09632. 6497730. 71492.813512531. 7463. 1765933. 52843.302542634.92263. 8735336. 8313.902442738. 79624.8180540. 73344. 634152843.61426.1312845. 36755.512162949. 74558.0012550. 87976. 53033057. 746710. 699157.417.63768316& 445914.511465. 04778. 7113282. 957319.348273. 75879.5497833102.305—83. 3085—可以看出，在26米时的提前增量开始比乙4厶B的大，在30米时开始 有ZAMB > ZALB o我们计算得在26米时，L点的横坐标丸“.66,此刻起应该 对着球门中心O运动。
图(6)给出了最住进攻路线:问题二:接下来我们讨论守门员站位问题经验告诉我们，守门员站在什么位置能造N成最大的封锁角度呢？如图(7)： ZMPN为守门员的封锁角度， PF LMN , PF、MN 为定值，设 PF二c, MN=m, MF=km,FN=(l-k)m,求使得 ZMPN最大的 k 值cos ZMPN =mpSpnJmn?2MPPNc2 +k~m2 +c2 +(l-^)2/n2-m22y/c2 +k2m2 + (1 ―鸟于加?[c2^k(k-\)tn2]2(兀+疋加2)匕2+(1—切2加2]图(7)：封锁角度示意图解得k二0. 5时ZMPN最大，即说明守门员站在射门角度的角平分线上时是最 有利的而且与球距离越近越好如图(8)ZAPB为射门角度，PF为角平分线，和ZMPN 分别是守门员在F和F处的封锁角度从图⑻我们可以看出， ZMPN>ZMPN o这解释了为什么比赛中我们常常看到，当 进攻球员带球离球门较近时，守门员会扑上去尽量接近进攻球 员当球离球门很近时，射门角度会变得很大，守门员如果尽 量去接近球，相应地，他会封锁更大的射门角度，以降低进球 的儿率图(8)：扑球示意图 下面是对P(20, 30)的具体探讨,如图⑼:我们假定进攻路线为PiLfO,在P — L阶段，由于射门角度不大，守门 员出击对封锁角度的改变量也不大，因此最好在小禁区内保持站位；在厶TO阶 段，射门角度会随距离的减小而加速增大，此时守门员最好沿直线冲向球。
对于卅射，我们首先建立/?0d直和坐标系，其中h为高度，d为射门距离 同样用C++进行编程，令程序生成数据包((3). txt),在其中给出很多合理范围 内的球的抛物线函数表达式，下而我们对28米外的欲使球最高点。