个人收集整理 勿做商业用途借助编程软件 求解超越方程安徽省安庆市第二中学 叶玉琴 汪令红 在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中,方程的求解理所当然是其中璀璨的一座中学阶段通过代数运算能求出一元一次方程，一元二次方程及三角方程等基本初等方程的解，而指数方程、对数方程等超越方程和五次以上的高次代数方程不能用代数运算的求解但其数值解法随着现代计算技术的发展得到了广泛的应用，如二分法等人教版普通高中课程标准实验教科书《数学必修1》的第三章《函数与方程》的第一节，在“用二分法求方程的近似解”中，有一道很典型的例题为：例2 借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解（精确度为0.1)教材根据“二分法”，解析如下：解：原方程即，令，用计算器或计算机作出函数的对应值表（表3—3）与图像（如图31—5) 表3-3x012345678—6—2310214075142273观察图3.1—5或表3-3可知,说明这个函数在区间(1，2）内有零点取区间（1，2）的中点，用计算器算得因为,所以再取（1,1.5)的中点，用计算器算得因为，所以同理可得，,.由于，所以，原方程的近似解可取为14375以上的解析过程可以充分体现出“二分法"的思想,但同时也可看出，作出对应值表3-3以及每一次“取中点”进行运算缩短零点所在的区间范围时，即使使用计算器，运算量也是很大.在实际教学中，教材中课后习题(A组、B组）共8道题，有些方程的运算十分繁杂，若每题均采用“例2”的求解方法，显然相当费时费力。
其实借助信息技术可以很方便地求出一个方程的近似解数学软件Mathematica是美国Wolfram Resarch公司开发的数学软件，可以用来解决各种领域中涉及的复杂的符号计算和数值计算的问题.下面仍以前文的例2为例，介绍如何应用Mathematica6.0求方程的近似解.方法1：利用Mathematica6.0的代数自动求解功能求方程的近似解.打开Mathematica6.0,执行命令→进行输入→按下“Shift+Enter”组合键即可,具体如下：经过化简便得到方程的解的表达式为:为了得到此方程的近似解,我们可以输入命令“N[expr]” (注：表达式的机器精度近似值)和命令“Solve[eqn， var］”（注：解方程）的组合命令即直接输入命令NSolve［lhs==rhs， var]（注：求方程数值解 ），具体如下：方法2：利用Mathematica6.0的画图功能辅助二分法快速求解首先借助Mathematica绘制准确的图像，使二分法的“无限逼近”更快,同样,执行命令→进行输入→ 按下“Shift+Enter”组合键即可,具体如图1：由图1极易看出方程的解在1~2之间同时我们还可以改变x的取值范围，以实现图像局部放大的目的,例如将横坐标的取值范围改为｛x，1，2｝,就可得到如图2所示的局部放大图像，由图2我们更加清晰地直接就可看出方程的解在1.4～1。
45之间，于是我们就可以从这儿开始“二分法”的“无限逼近”了……当然也可以直接利用改变x的取值范围,实现图像局部放大来进行求解将横坐标的取值范围改为｛x，145}，则有如图3所示的图像:由图3中的图像可以看出方程的解在1.432～14434之间继续将横坐标的取值范围改为｛x，1.432，1434｝，则有如图4：由图4中的图像可以看出方程的解可以近似取1.43318,且方程解的精度已很高教学中如果不借助计算机或计算器，虽然也能使学生领悟二分法的思想，并能运用其解决一些简单问题,但对于较复杂的超越方程的二分法求解，可能更多的是“纸上谈兵"法，笔者在教学中采用Mathematica6.0辅助课堂教学，既增加了课堂教学的有效性，同时又增加教学的趣味性,效果很好。