2003年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）)1. 函数y=sinxcos(x+π4)+cosxsin(x+π4)的最小正周期T=________．2. 若x=π3是方程2cos(x+α)=1的解，其中α∈(0, 2π)，则α=________．3. 在等差数列{an}中，a5=3，a6=-2，则a4+a5+...+a10=________．4. 已知定点A(0, 1)，点B在直线x+y=0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是________．5. 在正四棱锥P-ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60∘，则异面直线PA与BC所成角的大小等于________．（结果用反三角函数值表示）6. 设集合A={x||x|<4}，B={x|x2-4x+3>0}，则集合{x|x∈A且x∉A∩B}=________．7. △ABC中，若sinA:sinB:sinC=2:3:4，则cos2C=________．8. 若首项为a1，公比为q的等比数列{an}的前n项和总小于这个数列的各项和，则首项a1，公比q的一组取值可以是(a1, q)=________．9. 某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为________．（结果用分数表示）10. 方程x3+lgx=18的根x≈________．（结果精确到0.1）11. 已知点A(0,2n)，B(0,-2n)，C(4+2n,0)，其中n的为正整数．设Sn表示△ABC外接圆的面积，则limn→∞Sn=________．12. 给出问题：F1、F2是双曲线x216-y220=1的焦点，点P在双曲线上．若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离．某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF1|-|PF2||=8，即|9-|PF2||=8，得|PF2|=1或17．该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内________．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）)13. 下列函数中，既为偶函数又在(0, π)上单调递增的是( )A.y=tan|x| B.y=cos(-x) C.y=sin(x-π2) D.y=|cotx2|14. 在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（ ）A.α、β都垂直于平面rB.α内存在不共线的三点到β的距离相等C.l，m是α内两条直线，且l // β，m // βD.l，m是两条异面直线，且l // α，m // α，l // β，m // β15. 甲、乙两同学投掷一枚骰子，用字母p、q分别表示两人各投掷一次的点数．满足关于x的方程x2+px+q=0有实数解的概率为（ ）A.1936 B.736 C.536 D.13616. f(x)是定义在区间[-c, c]上的奇函数，其图象如图所示：令g(x)=af(x)+b，则下列关于函数g(x)的叙述正确的是( )A.若a<0，则函数g(x)的图象关于原点对称B.若a=-1，-20，00，由1+x1-x>0得-10，log2(21-x2-1)-log2(21-x1-1)>0，得f(x1)-f(x2)>0，即f(x)在(0, 1)内单调递减，由于f(x)是奇函数，所以f(x)在(-1, 0)内单调递减．20. 解：（1）如图建立直角坐标系，则点P(11, 4.5)，椭圆方程为x2a2+y2b2=1．将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得a=4477，此时此时l=2a=8877≈33.3因此隧道的拱宽约为33.3米；（2）由椭圆方程x2a2+y2b2=1，根据题意，将(11, 4.5)代入方程可得112a2+4.52b2=1．因为112a2+4.52b2≥2114.5ab即ab≥99且l=2a，h=b，所以S=π4lh=πab2≥99π2当S取最小值时，有112a2=4.52b2=12，得a=112，b=922此时l=2a=222≈31.1，h=b≈6.4故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小．21. 解：（1）设AB→={u,v}，则由|AB→|=2|OA→|，AB→⋅OA→=0即u2+v2=1004u-3v=0得u=6v=8，或u=-6v=-8．∵ OB→=OA→+AB→={u+4,v-3}，∴ v-3>0，得v=8，∴ AB→={6, 8}；（2）由OB→={10, 5}，得B(10, 5)，于是直线OB方程：y=12x．由条件可知圆的标准方程为：(x-3)2+y(y+1)2=10，得圆心(3, -1)，半径为10．设圆心(3, -1)关于直线OB的对称点为(x, y)则x+32-2⋅y-12=0y+1x-3=-2，得x=1y=3，∴ 所求圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=10；（3）设P(x1, y1)，Q(x2, y2)为抛物线上关于直线OB对称两点，则x1+x22-2y1+y22=0y1-y2x1-x2=-2，得x1+x2=-2ax1x2=5-2a2a2即x1，x2为方程x2+2ax+5-2a2a2=0的两个相异实根，于是由△=4a2-4⋅5-2a2a2>0，得a>32．∴ 当a>32时，抛物线y=ax2-1上总有关于直线OB对称的两点．22. 解：（1）a1C20-a2C21+a3C22=a1-2a1q+a1q2=a1(1-q)2a1C30-a2C31+a3C32-a4C33=a1(1-q)2a1C30-a2C31+a3C32-a4C33=a1-3a1q+3a1q2-a1q3=a1(1-q)3；（2）归纳概括的结论为：若数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，则a1Cn0-a2Cn1+a3Cn2-a4Cn3+...+(-1)nan+1Cnn=a1(1-q)n，n为正整数证明：a1Cn0-a2Cn1+a3Cn2-a4Cn3+...+(-1)nan+1Cnn=a1Cn0-a1qCn1+a1q2Cn2-a1q3Cn3+...+(-1)na1qnCnn=a1[Cn0-qCn1+q2Cn2-q3Cn3+...+(-1)nqnCnn]=a1(1-q)n；∴ 左边=右边，该结论成立．（3）∵ 数列{an}（n为正整数）是首项是a1，公比为q的等比数列，而且q≠1．∴ Sn=a1-a1qn1-q=a1(1-qn)1-q，∴ S1Cn0-S2Cn1+S3Cn2-S4Cn3+...+(-1)nSn+1Cnn=a11-q[(1-q)cn0-(1-q2)cn1+(1-q3)cn2-(1-q4)cn3+...+(-1)n(1-qn+1)cnn]=a11-q[Cn0-Cn1+Cn2-Cn3+…+(-1)nCnn]-a1q1-q[Cn0-qCn1+q2Cn2-q3Cn3+…+(-1)nqnCnn]=a1-1(1-q)n．试卷第7页，总7页。