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1、第三节 初等函数一、指数函数二、对数函数三、乘幂 ab 与幂函数四、三角函数和双曲函数五、反三角函数和反双曲函数六、小结与思考一、指数函数1.指数函数的定义:指数函数的定义等价于关系式:2. 加法定理证例1 解例2 解求出下列复数的辐角主值:例3 解二、对数函数1. 定义其余各值为特殊地, 例1 解注意: 在实变函数中, 负数无对数, 而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广.例2解2. 性质证 (3)证毕三、乘幂 与幂函数1. 乘幂的定义注意:特殊情况: 例3解答案课堂练习例4解2. 幂函数的解析性它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是
2、解析的,四、三角函数和双曲函数1. 三角函数的定义将两式相加与相减, 得现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况.例5解有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.(注意：这是与实变函数完全不同的)其他复变数三角函数的定义例6解例7解2. 双曲函数的定义它们的导数分别为并有如下公式:它们都是以 为周期的周期函数,五、反三角函数和反双曲函数1. 反三角函数的定义两端取对数得 同样可以定义反正弦函数和反正切函数, 重复以上步骤, 可以得到它们的表达式:2. 反双曲函数的定义例8解六、小结与思考 复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广, 它既保持了后者的某些基本性质, 又有一些与后者不同的特性. 如: 1. 指数函数具有周期性2. 负数无对数的结论不再成立3. 三角正弦与余弦不再具有有界性4. 双曲正弦与余弦都是周期函数思考题 实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同?思考题答案 两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的, 而且导数的形式、加法定理、正余弦函数的平方和等公式也有相同的形式. 最大的区别是, 实变三角函数中, 正余弦函数都是有界函数, 但在复变三角函数中, 放映结束，按Esc退出.
