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1、第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2基本不等式教案【教材分析】基本不等式在人教A版高中数学第一册第二章第2节，本节课的内容是基本不等式的形式以及推导和证明过程。本章一直在研究不等式的相关问题，对于本节课的知识点有了很好的铺垫作用。同时本节课的内容也是之后基本不等式应用的必要基础。【教学目标与核心素养】课程目标1.掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题。2.经历基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理能力。3.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性。数学学科素养1.数学抽象：基本不等式的形式以及推导过程；2.逻辑推理：基本不等式的证明；3.数学运算：利用基本不等式求最值；
2、4.数据分析：利用基本不等式解决实际问题；5.数学建模：利用函数的思想和基本不等式解决实际问题，提升学生的逻辑推理能力。【教学重难点】重点：基本不等式的形成以及推导过程和利用基本不等式求最值；难点：基本不等式的推导以及证明过程【教学方法】：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。【教学过程】 一、情景导入：在前面一节，已经学了重要不等式，那么将重要不等式中各个式子开方变形，会得到什么呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本44-45页，思考并完成以下问题1.重要不等式的内容是？2.基本不等式的内容及注意事项？3.常见的不等式推论？
3、要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1.重要不等式2.基本不等式(1)基本不等式成立的条件:_ a0,b0_.(2)等号成立的条件:当且仅当_ a=b _时取等号.注意：一正二定三等.2ab3.几个重要的不等式 (1)a2+b2_(a,bR). (2) _ 2(a,b同号). (3) (a,bR). (4) (a,bR).aba+b24.设a0,b0，则a,b的算术平均数为_,几何平均数为_，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数四、典例分析、举一反三题型一利用基本不等式求最值例1求下列各题的最值.（1）已知x0,y0,xy=
4、10,求的最小值；（2）x0,求的最小值；（3）x0,y0,xy=10.当且仅当2y=5x,即x=2,y=5时等号成立. (2)x0, 等号成立的条件是即x=2,f(x)的最小值是12.(3)x3,x-30,当且仅当即x=1时，等号成立.故f(x)的最大值为-1.解题技巧：（利用基本不等式求最值）(1)通过变形或“1”的代换，将其变为两式和为定值或积为定值；(2)根据已知范围，确定两式的正负符号；(3)根据两式的符号求积或和的最值.总而言之，基本不等式讲究“一正二定三等”.跟踪训练一（1）已知x0,y0，且求x+y的最小值；（2）已知x0,b0，则a,b的算术平均数为_,几何平均数为_，基本不
5、等式可叙述为：_.【小试牛刀】 1.已知x0，求x+1x的最小值.2.已知x，y都是正数，求证：（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2P；（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值14S2.【自主探究】 题型一利用基本不等式求最值例1 求下列各题的最值.（1）已知x0,y0,xy=10,求的最小值；（2）x0,求的最小值；（3）x0,y0，且求x+y的最小值；（2）已知x0，所以x+1x2x1x=2,当且仅当x=1x，即x2=1，x=1时，等号成立，因此所求的最小值为2.2【答案】见证明【解析】证明：因为x，y都是正数，所以x+y2xy（1）当积xy等
6、于定值P时，x+y2P，所以x+y2P，当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，和x+y有最小值2P.（2）当和x+y等于定值S时，xyS2，所以xy14S2，当且仅当x=y时，上式等号成立。于是，当x=y时，积xy有最大值14S2.自主探究例1 【答案】见解析【解析】（1）由x0,y0,xy=10.当且仅当2y=5x,即x=2,y=5时等号成立.(2)x0, 等号成立的条件是即x=2,f(x)的最小值是12.(3)x3,x-30,当且仅当即x=1时，等号成立.故f(x)的最大值为-1.跟踪训练一【答案】见解析【解析】例2【答案】见解析【解析】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm,y
7、m，篱笆的长度为2x+ym.(1)由已知得xy=100.由x+y2xy，可得x+y2xy=20,所以2x+y40,当且仅当x=y=10时，上式等号成立.(2)由已知得2x+y=36，矩形菜园的面积为xym2.由xyx+y2 = 182 = 9,可得xy81，当且仅当x=y=9时，上式等号成立.跟踪训练二1.【答案】见解析【解析】（1）设的长为米，则米由矩形的面积大于得：又，得：，解得：或即长的取值范围为：（2）由（1）知：矩形花坛的面积为：当且仅当，即时，矩形花坛的面积取得最小值故的长为米时，矩形的面积最小，最小值为平方米当堂检测1-4DCAA556.-37【答案】（1）；（2）厂家年促销费用投入3万元时，厂家的利润最大【解析】（1）由题意可知，当时，（万件），所以，所以，所以，每件产品的销售价格为（万元），所以年利润所以，其中.（2）因为时，即所以，当且仅当，即（万元）时，（万元）.所以厂家年促销费用投入3万元时，厂家的利润最大.2.2基本不等式同步练习一第1课时 基本不等式的证明巩固基础1已知a，bR，且ab0，则下列结论恒成立的是()Aa2b22ab Bab2C. D
