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1、2015年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分,共40分）)1. 若集合A=x|-5x2，B=x|-3x3，则AB=()A.x|-3x2B.x|-5x2C.x|-3x3D.x|-5x0)的一个焦点，则b=_13. 如图，ABC及其内部的点组成的集合记为D，P(x,y)为D中任意一点，则z=2x+3y的最大值为_14. 高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生从这次考试成绩看，在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是_；在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是_三、解
2、答题（共80分）)15. 已知函数f(x)=sinx-23sin2x2 (1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间0,23上的最小值16. 已知等差数列an满足a1+a2=10，a4-a3=2. (1)求an的通项公式；(2)设等比数列bn满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列an的第几项相等？17. 某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买，“”表示未购买甲乙丙丁1002172003008598(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则
3、该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？18. 如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且AC=BC=2，O，M分别为AB，VA的中点 (1)求证：VB/平面MOC；(2)求证：平面MOC平面VAB；(3)求三棱锥V-ABC的体积19. 设函数f(x)=x22-klnx，k0 (1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1,e上仅有一个零点20. 已知椭圆C:x2+3y2=3，过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M (1)求椭圆C的离心率；(2)若AB垂
4、直于x轴，求直线BM的斜率；(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由参考答案与试题解析2015年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分,共40分）1. A2. D3. B4. C5. C6. A7. C8. B二、填空题9. -110. log2511. 412. 313. 714. 乙,数学三、解答题（共80分）15. 解：(1) f(x)=sinx-23sin2x2=sinx-231-cosx2=sinx+3cosx-3=2sin(x+3)-3， f(x)的最小正周期T=21=2；(2) x0,23， x+33,， sin(x+3)0,1，即f(x)=2sin(x+3
5、)-3-3,2-3，解得f(x)在区间0,23上的最小值为-316. 解：(1)设等差数列an的公差为d， a4-a3=2，所以d=2， a1+a2=10，所以2a1+d=10， a1=4， an=4+2(n-1)=2n+2；(2)设等比数列bn的公比为q， b2=a3=8，b3=a7=16， b1q=8,b1q2=16, q=2，b1=4， b6=426-1=128，而128=2n+2， n=63， b6与数列an中的第63项相等.17. 解：(1)从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，故顾客同时购买乙和丙的概率为2001000=0.2；(2)在这1000名顾客中，
6、在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有100+200=300（人），故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为3001000=0.3；(3)在这1000名顾客中，同时购买甲和乙的概率为2001000=0.2，同时购买甲和丙的概率为100+200+3001000=0.6，同时购买甲和丁的概率为1001000=0.1，故同时购买甲和丙的概率最大18. (1)证明： O，M分别为AB，VA的中点， OM/VB， VB平面MOC，OM平面MOC， VB/平面MOC；(2)证明： AC=BC，O为AB的中点， OCAB， 平面VAB平面ABC，OC平面ABC， OC平面VAB， OC平面MOC
7、， 平面MOC平面VAB；(3)解：在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=2， AB=2，OC=1， SVAB=3， OC平面VAB， VC-VAB=13OCSVAB=33， VV-ABC=VC-VAB=3319. (1)解：由f(x)=x22-klnx(k0)，f(x)=x-kx=x2-kx.由f(x)=0解得x=k.f(x)与f(x)在区间(0,+)上的情况如下：x(0,k)k(k,+)f(x)-0+f(x)k(1-lnk)2所以，f(x)的单调递增区间为(k,+)，单调递减区间为(0,k)；f(x)在x=k处的极小值为f(k)=k(1-lnk)2，无极大值.(2)证明：由(1)知，f(x
8、)在区间(0,+)上的最小值为f(k)=k(1-lnk)2因为f(x)存在零点，所以k(1-lnk)20，从而ke.当k=e时，f(x)在区间(1,e)上单调递减，且f(e)=0，所以x=e是f(x)在区间(1,e上唯一的零点当ke时，f(x)在区间(0,e)上单调递减，且f(1)=120，f(e)=e-k20，所以f(x)在区间(1,e上仅有一个零点综上所述，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1,e上仅有一个零点20. 解：(1) 椭圆C:x2+3y2=3， 椭圆C的标准方程为：x23+y2=1， a=3，b=1，c=2， 椭圆C的离心率e=ca=63；(2) AB过点D(1,0)且垂直
9、于x轴， 可设A(1,y1)，B(1,-y1). E(2,1)， 直线AE的方程为：y-1=(1-y1)(x-2).令x=3，得M(3,2-y1)， 直线BM的斜率kBM=2-y1+y13-1=1；(3)结论：直线BM与直线DE平行证明如下：当直线AB的斜率不存在时，由(2)知kBM=1. 直线DE的斜率kDE=1-02-1=1， BM/DE；当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k(x-1)(k1).设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则直线AE的方程为y-1=y1-1x1-2(x-2).令x=3，则点M(3,x1+y1-3x1-2)， 直线BM的斜率kBM=x1+y1-3x1-2-y23-x2.联立x2+3y2=3，y=k(x-1)，得(1+3k2)x2-6k2x+3k2-3=0，由韦达定理，得x1+x2=6k21+3k2，x1x2=3k2-31+3k2， kBM-1=k(x1-1)+x1-3-k(x2-1)(x1-2)-(3-x2)(x1-2)(3-x2)(x1-2)=(k-1)-x1x2+2(x1+x2)-3(3-x2)(x1-2)=(k-1)(-3k2+31+3k2+12k21+3k2-3)(3-x2)(x1-2)=0， kBM=1=kDE，即BM/DE；综上所述，直线BM与直线DE平行试卷第7页，总8页
