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1、【预习系列】第八讲 倍长中线与截长补短 第八讲 倍长中线与截长补短第八讲倍长中线与截长补短一、学法建议1、倍长中线和截长补短是几何证明题中常用的两种方法，非常重要。每种方法都有它们适用的条件。我们需要熟练掌握这两种方法的条件和结论。2、几何题目书写要规范。在这一节中，我们需要熟练掌握证明全等三角形的书写方法。另外，倍长中线和截长补短是辅助线的添加方式，我们也需要规范辅助线的描述方法。3、几何题目需要大家多加，在掌握了方法之后，更要学会熟练应用、总结规律。二、应掌握的基础知识点1、基础知识复习回顾全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等；
2、全等三角形的对应边相等；能够完全重合的顶点叫对应顶点；全等三角形的对应边上的高对应相等；全等三角形的对应角的角平分线相等；全等三角形的对应边上的中线相等；全等三角形面积和周长相等；全等三角形的对应角的三角函数值相等。全等三角形的判定：S.S.S.（Side-Side-Side）（边、边、边）：如果两个三角形的三条边的长度都对应地相等的话，则这两个三角形就是全等三角形。S.A.S.（Side-Angle-Side）（边、角、边）：如果两个三角形的其中两条边的长度都对应地相等，且两条边夹着的角都对应地相等的话，则这两个三角形就是全等三角形。A.S.A. （Angle-Side-Angle）（角、边
3、、角）：如果两个三角形的其中两个角都对应地相等，且两个角夹着的边都对应地相等的话，则这两个三角形就是全等三角形。A.A.S.（Angle-Angle-Side）（角、角、边）：如果两个三角形的其中两个角都对应地相等，第八讲 倍长中线与截长补短且对应相等的角所对应的边对应相等的话，则这两个三角形就是全等三角形。H.L.（hypotenuse -leg）（斜边、直角边）：直角三角形中一条斜边和一条直角边都对应相等，则这两个三角形就是全等三角形。注意：利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点、对应角、对应边的顺序写一致，为找对应边、
4、对应角提供方便。全等三角形证明步骤：找到要证明全等的两个三角形从已知及图形出发找两个条件确定判定定理证明第三个条件书写全等的标准格式写出结论三角形的三大变换：平移、轴对称、旋转（复习第六讲内容）2、全等三角形辅助线的添加利用判定定理添加利用中点添加（倍长中线）利用角平分线添加利用截长补短添加利用等腰三角形三线合一定理添加等这节我们需要重点掌握倍长中线和截长补短倍长中线（这里的中线并不一定都是三角形中线，倍长中线体现旋转的思想）第八讲 倍长中线与截长补短总结：特征：三角形中遇到中点（中线），题目中出现线段的2倍关系。作法：加倍延长过中点的线段目的：转移边、角，构造旋转型全等，把边角转移到一个三角
5、形中结论：出现全等三角形、全等三角形对应边相等、全等三角形对应角相等、出现平行线、出现平行四边形口诀：见中线（2倍）必倍长，全等三角形必出现，平行线必出现，全连起来平行四边形也出现。截长补短（截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某线段延长，使之与特定线段相等，再利用两线段所在三角形全等的有关性质加以说明）总结：特征：题目或结论中出现线段的和、差、倍、分等量关系，一般也会出现三角形内角平分线作法：通常情况下大部分题目截长、补短能同时使用解同一题。习惯来说，线段和用补短法，线段差用截长法。目的：构造相等的边，从而构造对称性全等结论：出现对称性全等，有可能出现等腰
6、三角形添加辅助线步骤的书写规范：连接：连接AB延长作相等线段：延长AM至E，使ME=AM在长线段上截取相等线段：在AC上，截取AE=AB作平行线：过点B，作AC的平行线（作BEAC），与AD延长线的交点为E作垂线：过点F，作AE的垂线（作FHAE），垂足为H第八讲 倍长中线与截长补短三、应掌握的题型1.如图，在ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是( )A.2AB12B.4AB12C.9AB19D.10AB192、如图，点E是BC的中点，BAE=CDE，延长DE到点F使得EF=DE，连接BF，则下列说法正确的是（）BFCD BFECDE AB=BF ABE为等腰三角形A.B.C
7、.D.3、如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG=1，BF=2，GEF=90，则GF的长为（）A.1B.2C.3D.44、如图，在ABC中，点D、E为边BC的三等分点，则下列说法正确的有（）第八讲 倍长中线与截长补短BD=DE=EC AB+AE2AD AD+AC2AE AB+ACAD+AEA.1个B.2个C.3个D.4个5、正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，则EAF的度数为( )A.30B.37.5C.45D.606、已知：AC平分BAD，CEAB，B+D=180，则下列说法正确的是（）A.CD=AD+BEB.A
8、E=CE+BEC.AE=AD+BED.AC=AD+BE7、如图，在ABC中，AB=AC，ABC=40，BD是ABC的平分线，延长BD至E，是DE=AD，则ECA的度数为（）第八讲 倍长中线与截长补短A.30B.35C.40D.45四、答案解析1、C解题思路：延长AD至E，使DE=AD，连接CE，可先证明ABDECD，则AB=CE，在ACE中，根据三角形的三边关系，得AE-ACCEAE+AC，即9CE19.则9AB19.故选C.2、A解题思路：可以先证明BEFCED，可以得到正确，进而得到F=D，BFCD，正确，又BAE=CDE=F，AB=BF，正确。不正确。3、C解题思路：延长FE交DA的延长
9、线于点M，则可证AEMBEF，再证明GEMGEF，可以得到GF=GM=GA+BF=3，答案选C4、D解题思路：点D、E为边BC的三等分点，BD=DE=CE延长AD至点M，AE至点N，使得DM=AD，EN=AE，连接EM、CN，则可证明ABDMED，进而可得AB+AE2AD，再证明ADENCE，进而可得AD+AC2AE，将两式相加可得到AB+AE+AD+AC2AD+2AE,即AB+ACAD+AE.均正确。5、C解题思路：延长EB至点G，使得BG=DF，连接AG，可证明：ABGADF（SAS），DAF=BAG，AF=AG，又EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AEAEGAEF（SSS）EAG=EAF，DAF+EAF+BAE=90EAG+EAF=90，EAF=45。6、C第八讲 倍长中线与截长补短解题思路：在AB上截取AF，使得AF=AD，连接CF，则可先证ADCAFC，再证明CEF CEB，就可以得到AE=AD+BE，所以C选项正确。7、C解题思路：在BC上截取BF=AB，连DF，则有ABDFBD，DF=DA=DE，又ACB=ABC=40，DFC=180-A=80，FDC=60，EDC=ADB=180-ABD-A=180-20-100=60，DCEDCF，故ECA=DCB=40.故选C.-全文完-
