CAD/CAMCAD/CAM技术基础技术基础 南京航空航天大学南京航空航天大学* * 1.6 1.6 B B样条曲线曲面样条曲线曲面内容提要内容提要n nB B样条曲线的定义样条曲线的定义n nB B样条曲线的性质样条曲线的性质n nB B样条与样条曲线、样条与样条曲线、BzierBzier曲线的等价关系曲线的等价关系n nB B样条曲线的退化样条曲线的退化n n均匀与非均匀均匀与非均匀B B样条基函数样条基函数n nB B样条曲面样条曲面引言：为什么需要引言：为什么需要B B样条？样条？l lB B zierzier曲线与特征多边形不够接近曲线与特征多边形不够接近l lB B zierzier曲线局部的修改将影响整条曲线曲线局部的修改将影响整条曲线l l保留保留B B zierzier曲线和参数样条曲线的优点，既连续曲线和参数样条曲线的优点，既连续又分段一、均匀一、均匀B B样条曲线样条曲线1.1.三次三次B B样条曲线段样条曲线段表达公式表达公式三次三次B B样条曲线的端点性质样条曲线的端点性质起点在由起点在由i+1i+1点开始沿第点开始沿第i i、第第i+2i+2点中点方向的点中点方向的1/31/3处处终点在由终点在由i+2i+2点开始沿第点开始沿第i+1i+1、i+3i+3点中点方向的点中点方向的1/31/3处处三次三次B B样条曲线的端点性质样条曲线的端点性质起点切矢为起点切矢为i i到到i+2i+2点矢量的点矢量的1/21/2终点终点. .为为i+1i+1到到i+3i+3点矢量的点矢量的1/21/2三次三次B B样条曲线的端点性质样条曲线的端点性质起点二阶导为由起点二阶导为由i+1i+1点开始沿第点开始沿第i i第第i+2i+2点中点方向的点中点方向的2 2倍倍终点二阶导为终点二阶导为i+2i+2点开始沿第点开始沿第i+1i+1、第、第i+3i+3点中点方向的点中点方向的2 2倍倍具有具有i i=0,1,=0,1,n n+1+1共共n n+2+2个顶点的特征多边形一次个顶点的特征多边形一次可以定义可以定义i i=0,1,=0,1,n n-2-2共共n n-1-1个三次个三次B B样条曲线样条曲线段。
如图段如图连续性性质：各段曲线在连接点处连续性性质：各段曲线在连接点处C C2 2连续2.2.三次三次B B样条曲线样条曲线3.3.B B样条曲线的几何性质（一）样条曲线的几何性质（一） 直观性直观性 对称性对称性 局部性局部性一个顶点变化，只影响相邻的四个曲线段一个顶点变化，只影响相邻的四个曲线段 (对对3 3次曲线次曲线) ) 凸包性凸包性曲线段必然在定义它的四个顶点所围成的凸包内曲线段必然在定义它的四个顶点所围成的凸包内 保凸性保凸性特征多边形为凸，则曲线为凸特征多边形为凸，则曲线为凸3.3.B B样条曲线的几何性质（二）样条曲线的几何性质（二） 三次三次B B样条曲线的退化样条曲线的退化（1 1）三相邻顶点共线）三相邻顶点共线特征多边形与曲线相切，切点曲率为零特征多边形与曲线相切，切点曲率为零2 2）四相邻顶点共线）四相邻顶点共线曲线退化为直线曲线退化为直线3 3）两顶点）两顶点 、 重合重合三点共线的特例三点共线的特例4 4）三顶点重合）三顶点重合左右两边退化为直线，且在该点相交（尖点）左右两边退化为直线，且在该点相交（尖点）思考题：若用思考题：若用B B样条构造一条曲线，要求通过调整样条构造一条曲线，要求通过调整特征多边形，使起点通过特征多边形起点，曲线中特征多边形，使起点通过特征多边形起点，曲线中有直线段和尖点存在。
有直线段和尖点存在解题思路：解题思路：1.1.起点通过某点，可以将特征多边形起点作为起点通过某点，可以将特征多边形起点作为三点重合处理，即特征多边形的顶点排列由三点重合处理，即特征多边形的顶点排列由 变为变为 2.2.只要特征多边形连续四点共线即可只要特征多边形连续四点共线即可3.3.出现尖点的地方设计一特征多边形顶点，且该出现尖点的地方设计一特征多边形顶点，且该顶点作为三点重合处理顶点作为三点重合处理4.4.三次三次B B样条曲线的算法样条曲线的算法正算正算已知特征多边形，求已知特征多边形，求B B样条曲线样条曲线逼近问题逼近问题4.4.三次三次B B样条曲线的算法样条曲线的算法反算反算插值问题插值问题已知型值点，求特征多边形，然后再构造已知型值点，求特征多边形，然后再构造B B样条曲线样条曲线由由三次三次B B样条曲线端点性质：样条曲线端点性质：边界条件：边界条件：5.5.三次参数曲线段的三种等价表示三次参数曲线段的三种等价表示二、非均匀二、非均匀B B样条曲线样条曲线1.1.B B样条基函数的递推定义样条基函数的递推定义 当当M=1M=1，零次，零次( (一阶一阶)B)B样条基为样条基为 xixi+1Ni,1(x) 当当MM2 2一次一次( (二阶二阶)B)B样条基样条基 一次(二阶)B样条基 xixi+1xi+2Ni,2(x)xixi+1Ni,1(x)xi+2Ni+1,1(x)当当MM3 3，二次，二次( (三阶三阶)B)B样条基样条基二次(三阶)B样条基 xixi+1xi+2xi+3Ni,3(x)当当MM4 4，三次，三次( (四阶四阶)B)B样条基样条基三次三次( (四阶四阶) )均匀均匀B B样条基样条基 三次三次( (四阶四阶) )非均匀非均匀B B样条基样条基xixi+1xi+2xi+3Ni,4(x)xi+42.2.非均匀非均匀B B样条曲线样条曲线概念概念l l在定义在定义B B样条基函数时，如果节点不均匀样条基函数时，如果节点不均匀，则构成，则构成非均匀非均匀B B样条基函数样条基函数；l l非均匀非均匀B B样条基函数与顶点的线性组合构样条基函数与顶点的线性组合构成成非均匀非均匀B B样条曲线样条曲线。
三次非均匀三次非均匀B B样条样条l l参数坐标的变换参数坐标的变换：三次非均匀三次非均匀B B样条函数（曲线）样条函数（曲线）l l当当 x xi i+1+1- -x xi i = h= h 非均匀非均匀B B样条基退化为均匀样条基退化为均匀B B样条基样条基非均匀非均匀B B样条基函数节点距离的选择样条基函数节点距离的选择l l与特征多边形顶点间距离成正比（正算）或与特征多边形顶点间距离成正比（正算）或型值点距离（反算）成正比型值点距离（反算）成正比任意次任意次B B样条曲线的表达式样条曲线的表达式例：求控制点为例：求控制点为 的一次的一次B B样条曲线样条曲线解：解：x-1x2N0,2x3x1x0N1,2N2,23. 3. 重节点重节点B B样条曲线样条曲线两端重节点：非均匀B样条函数的特例左端四重节点三次左端四重节点三次B B样条基样条基中间重节点中间三重节点三次中间三重节点三次B B样条基样条基例题例题l l给定控制顶点给定控制顶点 ，定义一条，定义一条三次三次B B样条曲线样条曲线1 1）节点矢量）节点矢量 X X 及曲线定义域及曲线定义域x x分别是什么？分别是什么？（2 2）定义域内不含重节点时，曲线有几段？）定义域内不含重节点时，曲线有几段？（3 3）曲线定义在）曲线定义在x x x x6 6, , x x7 7 上的曲线段由哪几个上的曲线段由哪几个控制顶点定义控制顶点定义? ?（4 4）移动控制顶点）移动控制顶点 将分别影响到哪些将分别影响到哪些曲线段的形状？曲线段的形状？B B样条曲线复习与思考样条曲线复习与思考l l在均匀三次在均匀三次B B样条曲线中，曲线几阶连续？样条曲线中，曲线几阶连续？如果控制多边形有如果控制多边形有N(N4)N(N4)个顶点，曲线上个顶点，曲线上有多少段曲线？改动一个控制顶点，整条有多少段曲线？改动一个控制顶点，整条曲线会发生变化吗？曲线会发生变化吗？l lB B样条曲线的端点性质。
样条曲线的端点性质l l三次弗格森曲线、三次贝齐埃曲线、三次三次弗格森曲线、三次贝齐埃曲线、三次B B样条曲线段的等价关系怎样？样条曲线段的等价关系怎样？l l什么是均匀什么是均匀B B样条曲线，什么是非均匀样条曲线，什么是非均匀B B样样条曲线？条曲线？三、双三次三、双三次B B样条曲面样条曲面l l类似类似BzierBzier曲面的构造，曲面的构造，B B样条曲面也是笛样条曲面也是笛卡尔积曲面卡尔积曲面1.1.双三次双三次B B样条曲面片样条曲面片a.a.已知条件已知条件l l以以1616个控制点为顶点，形成特征网格个控制点为顶点，形成特征网格b.b.基本思路：基本思路：分别在分别在u u向构造向构造4 4条条B B样条曲样条曲线 （准线）（准线）固定固定u u坐标（坐标（u u= =u u0 0），与准），与准线的线的4 4个交点作为特征多个交点作为特征多边形顶点，边形顶点， 构造一条构造一条B B样条曲线母线）样条曲线母线）使使u u0 0成为变量成为变量u u，可以形成，可以形成一个曲面一个曲面uvc.c.双三次双三次B B样条曲面片公式推导样条曲面片公式推导准线方程准线方程母线方程母线方程双三次双三次B B样条样条曲面片公式曲面片公式2.2.双三次双三次B B样条曲面样条曲面l l特征网格为特征网格为( (n n+1)(+1)(m m+1)+1)个顶点个顶点l l双三次曲面方程双三次曲面方程3.3.双三次双三次B B样条曲面的计算样条曲面的计算正算正算给定特征网格点，构造给定特征网格点，构造B B样条曲面。
样条曲面反算反算a.a.沿沿u u向向m+1m+1组型值点反算特征多边形顶点组型值点反算特征多边形顶点得得 i,j i,j ( (i i=-1,0,1,=-1,0,1,n n, ,n n+1; +1; j j=0,1,=0,1,m m) )b.b.沿沿v v向向n+3n+3组型值点组型值点i,j i,j反算特征多边形顶点反算特征多边形顶点得得 V Vi,j i,j=(=(i i=-1,0,=-1,0,n n+1;+1; j j=-1,0,=-1,0,m m+1)+1)c.c.边界条件边界条件由由r ri,ji,j反算反算i,ji,j：边界上的：边界上的u u向切矢由由i,ji,j反算反算V Vi, i,j j： i i,0,0= =1/21/2( (V Vi i,1 ,1 - -V Vi i,-1,-1) )4.4.双三次曲面的三种等价形式双三次曲面的三种等价形式三种等价形式三种等价形式孔斯孔斯- -弗格森双三次曲面弗格森双三次曲面B B zierzier双三次曲面双三次曲面B B样条双三次曲面片样条双三次曲面片关系关系等价B B样条直观，算法简便，有良好的局部性，便样条直观，算法简便，有良好的局部性，便于控制。
于控制l lBzierBzier曲面曲面B B样条曲面样条曲面四、四、B B样条曲面的构造样条曲面的构造1.1.均匀均匀B B样条曲面样条曲面任意次任意次B B样条曲面片样条曲面片pp当当N=M=4, N=M=4, 双三次曲面片双三次曲面片pp当当N=4N=4，M=2M=2，3X13X1次次（直纹面）（直纹面）2.2.非均匀非均匀B B样条曲面样条曲面B B样条曲面复习与思考样条曲面复习与思考l l三次三次B B样条曲面片与特征网格的关系样条曲面片与特征网格的关系l l三次三次B B样条曲面、三次弗格森曲面、三次贝齐样条曲面、三次弗格森曲面、三次贝齐埃曲面的等价关系埃曲面的等价关系l lB B样条曲面的正算与反算的概念样条曲面的正算与反算的概念l l均匀均匀B B样条曲面与非均匀样条曲面与非均匀B B样条曲面的概念样条曲面的概念。