《专题33 空间中线线角、线面角二面角的求法-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题33 空间中线线角、线面角二面角的求法-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】（解析版）（76页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题33 空间中线线角、线面角、二面角的求法【高考地位】立体几何是高考数学命题的一个重点，空间中线线角、线面角的考查更是重中之重. 其求解的策略主要有两种方法：其一是一般方法，即按照“作证解”的顺序进行；其一是空间向量法，即建立直角坐标系进行求解. 在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.类型一 空间中线线角的求法方法一 平移法万能模板内 容使用场景空间中线线角的求法解题模板第一步 首先将两异面直线平移到同一平面中；第二步 然后运用余弦定理等知识进行求解；第三步 得出结论.例1正四面体中， 分别为棱的中点，则异面直线与所成的角为A. B. C. D. 【答案】B【解析】取的中点P，连A
2、P,BP，可证得平面，从而可得。取ACA得中点M，连ME,MF，则， ，所以即为异面直线与所成的角（或其补角）。在中， 。.异面直线与所成的角等于。选B。点睛：求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移计算异面直线所成的角通常转化为解三角形的问题处理，要注意异面直线所成角的范围为。【变式演练1】【2021届全国著名重点中学新高考冲刺】如图，正方体，的棱长为6，点是棱的中点，与的交点为，点在棱上，且，动点（不同于点）在四边形内部及其边界上运动，且，则直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD【答案】B
3、【分析】在棱上取一点，且，连接，取棱的中点，连接，则可得的轨迹为线段，则异面直线与所成的角，利用余弦定理即可求出.【详解】易知.因为平面，所以，所以平面，又平面，所以，在棱上取一点，且，连接，则，所以，所以动点的轨迹为线段(不包含).取棱的中点，连接，易知，则异面直线与所成的角.连接，因为，所以.故选：B.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
4、（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角【变式演练2】【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期9月月考模拟测试】当动点在正方体的棱上运动时，异面直线与所成角的取值范围（ ）ABCD【答案】C【分析】通过平行找线线角，再根据三角形求角.【详解】设正方体棱长为1，则，连接，由可知，即为异面直线与所成角，在中，故，又， ，又在为单调减函数，故选.【变式演练3】【甘肃省白银市靖远县2020届高三高考数学（文科）第四次联考】在四面体中，分别为，的中点，则异面直线与所成的角为（ ）ABCD【答案】B【分析】把四面体补成一个长，宽，高分别为，
5、1的长方体，取的中点，连接，运用条件可得是等腰直角三角形，然后可得出答案.【详解】如图，把四面体补成一个长，宽，高分别为，1的长方体，取的中点，连接，.因为，分别是，的中点，所以，同理，.因为，所以，所以是等腰直角三角形，则，即异面直线与所成的角为.故选：B【变式演练4】【2020年浙江省名校高考押题预测卷】如图，在三棱锥中，平面，侧棱与平面所成的角为，为的中点，是侧棱上一动点，当的面积最小时，异面直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD【答案】D【分析】通过线面位置关系的证明得到的面积为，当的面积最小，此时，据此即可利用解三角形的方法进行求解即可【详解】由题意知为等腰直角三角形，因为为的中点，所
6、以又平面，所以，所以平面，所以，故的面积易知，所以，所以，当最小时，的面积最小，此时当时，过作，交的延长线于点，则，连接，如图，则为异面直线与所成的角或其补角因为平面，所以为直线与平面所成的角，所以，所以，所以，又，所以，所以，在中，易知，所以，故当的面积最小时，异面直线与所成角的余弦值为故选：D方法二 空间向量法万能模板内 容使用场景空间中线线角的求法解题模板第一步 首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标；第二步 然后求出所求异面直线的空间直角坐标；第三步 再利用即可得出结论.例2、【重庆市第三十七中学校2020-2021学年高三上学期10月月考】在长方体中，分别为棱，的中点，则
7、异面直线与所成角的大小为（ ）ABCD【答案】C【分析】采用数形结合，利用建立空间直角坐标系，表示，计算可得结果.【详解】以为坐标原点，分别以，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图设，则，所以，所以，所以异面直线与所成角的大小为，故选：C.例3、【四川省泸县第四中学2020-2021学年高三上学期第一次月考】在长方体中，分别是，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD【答案】A【分析】分别以，为，轴正方向建系，则可求出的坐标，进而可求出，的坐标，代入公式即可求解.【详解】分别以，为，轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则点，则，.设直线与所成角的大小为，则，所以.故选
8、：A.【变式演练5】【2021届全国著名重点中学新高考冲刺】九章算术是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形为矩形，若，和都是正三角形，且，则异面直线与所成角的大小为（ ）ABCD【答案】D【分析】可过作交于，连接，得到或其补角为所求角，然后在中求解即可；也可建立空间直角坐标系，设，以中点为原点，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用向量的数量积即可得解【详解】解法一：如图，在平面中，过作交于，连接，则或其补角为异面直线与所成的角设，则，因为，所以四边形为平行四边形，所以，又，所以，又，所以，所以解法二：如图，以矩形的中心为原点，
9、的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，因为四边形为矩形，和都是正三角形，所以平面，且是线段的垂直平分线设，则，所以，所以，所以，所以异面直线与所成的角为故选：D【点睛】方法点睛：本题考查异面直线夹角的计算问题，常用以下方法：（1）平移法，将异面直线通过平移转化成共面直线，结合三角形知识求解；（2）补形法：通过补形（一般是补一个相同的几何体）将异面直线通过平移转化成共面直线，结合三角形知识求解；（3）向量法：建立空间直角坐标系，结合向量夹角公式求解.【变式演练6】【云南省云天化中学、下关一中2021届高三复习备考联合质量检测卷】如图所示，在正方体中，点E为线段的中点，点F在线段上移动，异面直线与所
10、成角最小时，其余弦值为（ ）A0BCD【答案】C【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与的夹角的余弦值，根据夹角最小即可求得结果【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，在正方体中, 点E为线段的中点，设正方体棱长为2，则，,设，设异面直线与的夹角为，则,异面直线与所成角最小时，则最大，即时，.故选：C.类型二 空间中线面角的求法方法一 垂线法万能模板内 容使用场景空间中线面角的求法解题模板第一步 首先根据题意找出直线上的点到平面的射影点；第二步 然后连接其射影点与直线和平面的交点即可得出线面角；第三步 得出结论.例3如图，四边形是矩形，
11、是的中点，与交于点，平面.（）求证：面；（）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（）证明见解析；（）【解析】试题分析：（）要证AF与平面BEG垂直，只要证AF与平面内两条相交直线垂直，由已知GF垂直于底面ABCD，有GF垂直AF，另外可以在矩形BACD中证明BE垂直于AC（可用相似三角形证明角相等）；（）求直线EG与平面所成角的正弦，可用体积法求出E到平面ABG的距离d，则就是所求正弦值，而求棱锥的体积可通过来求得试题解析：证法1： 四边形为矩形， 又矩形中， 在中， ， 在中， ，即 平面，平面 又，平面 平面 证法2：（坐标法）证明，得，往下同证法1证法3：（向量法）以为基底， ，
12、，往下同证法1（2）在中，在中， 在中， 设点到平面的距离为，则，设直线与平面所成角的大小为，则 考点：线面垂直的判定，直线与平面所成的角Com【点评】解决直线与平面所成的角的关键是找到直线上的点到平面的射影点，构造出线面角.【变式演练7】已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面内的射影为的中心,则与底面所成角的正弦值为（ ）A B C D【答案】B考点:直线与平面所成的角【变式演练8】【北京市朝阳区2020届高三年级下学期二模】如图，在五面体ABCDEF中，面是正方形，且（1）求证：平面；（2）求直线BD与平面ADE所成角的正弦值；（3）设M是CF的中点，棱上是否存在点G，使得平面ADE？若
13、存在，求线段AG的长；若不存在，说明理由【答案】（1）答案见详解；（2）；（3）存在，.【分析】(1) 由和，利用线面垂直的判定定理即证结论；(2)先根据等体积法计算点B到平面ADE的距离d，再利用正弦等于即得结果；(3) 先取DC，AB上点N，G使得CN=BG=1，证明平面MNG平面ADE，即得平面ADE，.【详解】解：（1） 证明：正方形中，又，平面，所以平面；（2）设直线BD与平面ADE所成角为，点B到平面ADE的距离d，则.依题意，由（1）知平面，得平面平面，故点E到平面的距离，中，又，故根据等体积法，得，即，故，故直线BD与平面ADE所成角的正弦值是；（3），平面，平面，平面，又平面平面，平面，.分别取DC，AB上点N，G，使得CN=BG=1，又，故四边形CNGB是平行四边形，又NG在平面ADE外，BC在平面ADE内，平面ADE，取DC中点H，则DH=EF=2，又，故四边形EFDH是平行四边形，又，M是CF的中点，故MN是中位线，又MN在平面ADE外，DE在平面ADE内，平面ADE，因为MN，NG相交于平面MNG内，所以平面MNG平面ADE，又平面MNG，故此时平面ADE，.【点睛】本题考查了线面垂直的判定、线面成角的求法和存在性问题的探究，属于中档题.求空间中直线与平面所成角的常见方法为：（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；（2）等体积
