9.3 空间曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面通过其上定点对应点 M,切线方程为不全为0 . 则 在且点 M 的切向量为任意引一条光滑曲线下面证明:此平面称为 在该点的切平面. 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上. 证:在 上,得令由于曲线 的任意性 , 表明这些切线都在以为法向量的平面上 , 从而切平面存在 .n曲面 在点 M 的法向量: 法线方程 切平面方程 过M点且垂直于切平面的直线 称为曲面 在点 M 的法线. n曲面时, 则在点故当函数 法线方程令特别, 当光滑曲面 的方程为显式 在点有连续偏导数时, 切平面方程法向量例1. 求球面在点(1 , 2 , 3) 处的切平面及法线方程. 解: 令所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有:切平面方程 即法线方程法向量(0,0,0)在法线上，可见法线经过原点，即球心例2 求曲面 在点（1, 2, 6）处的切平面及法线方程 解 设 则，且 故曲面在（1, 2, 6）处的切平面的法向量为所以曲面在（1, 2, 6）处的切平面方程为即 法线方程为空间光滑曲面曲面 在点法线方程1) 隐式情况 .的法向量切平面方程内容小结. 曲面的切平面与法线空间光滑曲面曲面 在点法线方程2) 显式情况 .的法向量切平面方程思考与练习1. 如果平面与椭球面相切,提示: 设切点为则(二法向量平行) (切点在平面上)(切点在椭球面上)=t由得代入得整理得代入得整理得两边乘以t得减去得将t=2代入得证明 曲面上任一点处的切平面都通过原点.提示: 在曲面上任意取一点则通过此2. 设 f ( u ) 可微,证明原点坐标满足上述方程 .点的切平面为。