学习必备 欢迎下载高一数学试卷 --含肯定值的不等式解法练习题及答案例 1 不等式 |8－ 3x|＞ 0 的解集是[ ]A ． B． R8 8C． {x|x ≠} D． { }3 3分析 ∵ |8－ 3x| ＞ 0，∴答 选 C．8－ 3x≠ 0，即 x≠ 8 ．3B．2例 2 肯定值大于 2 且不大于 5 的最小整数是[ ]A ．3C．－ 2D．－ 5分析 列出不等式．解 依据题意得 2＜ |x|≤ 5．从而－ 5≤ x ＜－ 2 或 2＜ x≤ 5，其中最小整数为－ 5， 答 选 D ．例 3 不等式 4＜|1－ 3x|≤ 7 的解集为 ．分析 利用所学学问对不等式实施同解变形．解 原不等式可化为 4＜ |3x－ 1|≤ 7，即 4＜ 3x－1≤ 7 或－ 75 8≤ 3x－ 1＜－4 解之得 ＜ x≤ 或－2 ≤ x＜－ 1，即所求不等式解集为3 35 8{x| － 2≤ x＜－ 1或 ＜ x≤ } ．3 3例 4 已知集合 A ＝ {x|2 ＜ |6－ 2x|＜ 5， x∈ N} ，求 A ．分析 转化为解肯定值不等式．解 ∵2＜ |6－ 2x|＜ 5 可化为2＜ |2x－6|＜ 5－ 5＜ 2x－ 6 ＜ 5，即2x－ 6＞ 2 或2x－ 6＜－ 2 ，1＜ 2x＜ 11，即2x＞ 8或2x＜ 4，11 1解之得4＜ x＜ 或 ＜ x＜ 2 ．2 2学习必备 欢迎下载由于 x∈ N，所以 A ＝ {0 ， 1， 5} ． 说明：留意元素的限制条件．例 5 实数 a， b 满意 ab＜0，那么[ ]A ．|a－ b|＜ |a|＋ |b| B．|a＋ b|＞ |a－ b| C．|a＋ b|＜ |a－ b|D．|a－ b|＜ ||a|＋ |b||分析 依据符号法就及肯定值的意义．解 ∵a、b 异号，∴ |a＋b|＜ |a－ b|．答 选 C．例 6 设不等式 |x－ a|＜ b 的解集为 {x| －1＜ x ＜ 2} ，就 a， b 的值为[ ]A ．a＝ 1， b＝3 B．a＝－ 1， b＝ 3 C．a＝－ 1， b＝－ 31 3D ． a＝ ， b＝2 2分析 解不等式后比较区间的端点．解 由题意知， b＞ 0，原不等式的解集为 {x|a－ b＜ x＜ a＋ b} ，由于解集又为{x| － 1＜ x ＜ 2} 所以比较可得．a－ b＝－ 1 1 3，解之得 a＝ ， b＝ ．a＋ b＝ 2 2 2答 选 D ．说明：此题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组．例 7 解关于 x 的不等式 |2x－ 1|＜ 2m－ 1〔m∈ R〕分析 分类争论．1解 如2m－ 1≤ 0即m≤ ，就 |2x－1|＜ 2m－ 1恒不成立，此时原不等2式的解集为 ；1如 2m－ 1＞ 0即m＞ ，就－2〔2m － 1〕 ＜ 2x－ 1＜ 2m－ 1，所以1－ m＜x＜ m．学习必备 欢迎下载综上所述得：当11m≤ 时原不等式解集为 ；2当m＞ 时，原不等式的解集为2{x|1 － m＜ x＜ m} ．说明：分类争论时要预先确定分类的标准．例8 解不等式3－ |x| 1≥ ．|x|＋ 2 2分析 一般地说，可以移项后变形求解， 但留意到分母是正数，所以能直接去分母．解 留意到分母 |x|＋ 2＞ 0，所以原不等式转化为 2〔3－|x|〕≥ |x|＋2，整理得4 4 4 4 4|x| ≤ ，从而可以解得－ ≤ x≤ ，解集为 {x| － ≤ x≤ } ．3 3 3 3 3说明：分式不等式经常可以先判定一下分子或者分母的符号，使过程简便．例 9 解不等式 |6－ |2x＋ 1||＞ 1．分析 以通过变形化简， 把该不等式化归为 |ax＋ b|＜ c 或|ax＋ b|＞c 型的不等式来解．解 事实上原不等式可化为或 6－ |2x＋ 1|＜－ 16－ |2x＋ 1|＞ 1①②由①得 |2x＋ 1|＜ 5，解之得－ 3＜ x ＜ 2；由②得 |2x＋ 1|＞ 7，解之得 x＞ 3 或 x＜－ 4．从而得到原不等式的解集为 {x|x ＜－ 4 或－ 3＜ x ＜ 2 或 x ＞ 3} ．说明：此题需要多次使用肯定值不等式的解题理论．例 10 已知关于 x 的不等式 |x＋ 2|＋ |x－3|＜ a 的解集是非空集合，就实数a 的取值范畴是 ．分析 可以依据对 |x＋ 2|＋ |x－3|的意义的不同懂得，获得多种方法．解法一 当 x ≤－ 2 时，不等式化为－ x－ 2－ x＋ 3＜ a 即－ 2x＋ 1＜a 有解，而－ 2x＋ 1≥ 5，∴ a＞ 5．当－ 2＜ x ≤ 3 时，不等式化为 x ＋ 2－ x＋ 3＜ a 即 a＞ 5．当 x＞3 是，不等式化为 x＋ 2＋ x－ 3＜ a 即 2x－ 1＜ a 有解，而 2x－ 1＞ 5，∴ a＞ 5．综上所述： a＞ 5 时不等式有解，从而解集非空．解法二 |x＋ 2|＋ |x－ 3|表示数轴上的点到表示－ 2 和 3 的两点的距离之和，明显最小值为 3－ 〔－ 2〕＝ 5．故可求 a 的取值范畴为 a＞ 5．解法三 利用 |m|＋ |n|＞ |m n|得学习必备 欢迎下载|x＋ 2|＋ |x－ 3|≥ |〔x＋ 2〕－ 〔x － 3〕|＝ 5． 所以 a＞ 5 时不等式有解．说明：通过多种解法锤炼思维的发散性．例 11 解不等式 |x＋ 1|＞ 2－ x ．分析一 对 2－x 的取值分类争论解之．解法一 原不等式等价于：2 － x≥ 0①x＋ 1＞ 2 － x或x＋ 1＜ x－ 22－ x＜ 0或 ②由①得x∈ Rx≤ 21x＞ 2 或1＜－ 2x≤ 2即 1 1x＞ 2，所以＜ x≤ 2；2由②得 x ＞ 2．1 1综合①②得x＞ ．所以不等式的解集为2{x|x＞ } ． 2分析二 利用肯定值的定义对 |x＋ 1|进行分类争论解之．解法二 由于x＋1， x≥－ 1|x＋ 1|＝－ x－ 1， x＜－ 1原不等式等价于：x 1≥ 0①x 1＞ 2x 1＜ 0或②x x 1＞ 2 x由①得x≥ 11x＞ 21即x＞ 2 ；由②得x＜－ 1－ 1＞ 2即x∈ ．所以不等式的解集为{x|x ＞1} ．2学习必备 欢迎下载例 12 解不等式 |x－ 5|－ |2x＋ 3|＜1．分析 设法去掉肯定值是主要解题策略，可以依据肯定值的意义分区间争论，事实上，由于x＝ 5时， |x － 5|＝ 0， x＝－ 3 时|2x＋ 3|＝ 0．23所以我们可以通过－ ， 5将x轴分成三段分别争论．23解 当x≤－ 时， x－ 5＜ 0， 2x＋ 3≤ 0所以不等式转化为2－ 〔x － 5〕＋ 〔2x＋3〕 ＜1，得 x＜－ 7，所以 x＜－ 7；3当－ ＜ x≤ 5时，同理不等式化为 2－ 〔x － 5〕－ 〔2x＋3〕 ＜1，1 1解之得x＞ ，所以 ＜ x≤ 5；3 3当 x＞5 时，原不等式可化为x － 5－ 〔2x＋ 3〕＜ 1，解之得 x ＞－ 9，所以 x ＞5．综上所述得原不等式的解集为{x|x1＞ 或x＜－ 37} ．说明：在含有肯定值的不等式中， “去肯定值”是基本策略．例 13 解不等式 |2x－ 1|＞ |2x－ 3|．分析 此题也可实行前一题的方法：实行用零点分区间争论去掉绝对值，但这样比较复杂．假如实行两边平方，即依据|a|＞ |b| a 2 ＞b 2 解之，就更显得流畅，简捷．解 原不等式同解于〔2x－ 1〕2＞ 〔2x－ 3〕2，即 4x2－4x ＋ 1＞ 4x2－ 12x ＋9，即 8x＞ 8，得 x＞ 1．所以原不等式的解集为 {x|x ＞ 1} ．学习必备 欢迎下载说明：此题中，假如把 2x 当作数轴上的动坐标，就 |2x－ 1|＞ |2x－ 3|表示2x 到 1 的距离大于 2x 到 3 的距离，就 2x 应当在 2 的右边，从而 2x＞ 2 即 x＞1．。