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1、学习必备欢迎下载勾股定理经典例题含答案11 页勾股定理是一个基本的初等几何定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；假如直角三角形两直角边为 a 和 b ，斜边为c，那么 a2+b2=c2，如 a 、b、 c 都是正整数，a,b,c 叫做勾股数组；勾股定理现约有500 种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一；勾股定理是人类早期 发觉并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合 的纽带之一； “勾三，股四，弦五”是勾股定理的一个最闻名的例子 ；远在公元前约三千年的古巴比伦 人就知道和应用勾股定理，仍知道很多勾股数组；古埃及人也应用过勾股定理；在中
2、国，西周的商高 提出了 “勾三股四弦五”的勾股定理的特例；在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6 世纪古希腊的 毕达哥拉斯 ，他用演绎法证明白直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和；类型一：勾股定理的直接用法1、在 Rt ABC 中， C=90 1已知 a=6， c=10，求 b， 2已知 a=40， b=9 ，求 c； 3已知 c=25， b=15，求 a.思路点拨 : 写解的过程中，肯定要先写上在哪个直角三角形中，留意勾股定理的变形使用；解析： 1 在 ABC 中， C=90 ， a=6， c=10,b=2 在 ABC 中， C=90， a=40， b=9,c=3 在 ABC 中， C=
3、90， c=25， b=15,a=举一反三【变式】 :如图 B= ACD =90 , AD =13,CD =12, BC=3,就 AB 的长是多少 .【答案】 ACD =90 AD = 13, CD=12 AC 2 =AD 2CD 2=132 122=25 AC=5又 ABC=90 且 BC=3由勾股定理可得AB 2 = AC 2BC2=52 32=16 AB= 4 AB 的长是 4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，. 求： BC 的长 .思路点拨 ：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于 D，就有，再由勾股定理运算出AD 、DC 的长，进而求出BC 的长 .解析 ：作于
4、D ，就因，（的两个锐角互余）学习必备欢迎下载（在中，假如一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.依据勾股定理，在中，.依据勾股定理，在中，.举一反三 【变式 1】如图，已知：，于 P.求证：.解析 ：连结 BM ，依据勾股定理，在中，.而在中，就依据勾股定理有.又（已知），.在中，依据勾股定理有，.【变式 2】已知：如图，B= D=90 ， A=60 ， AB=4 ， CD=2 ；求：四边形ABCD的面积；分析 ：如何构造直角三角形是解此题的关键，可以连结AC ，或延长 AB 、DC 交于 F，或延长AD 、BC 交于点 E，依据此题给定的角应选后两种，进一步依据此题给定的边选第三
5、种较为简洁；解析 ：延长 AD 、BC 交于 E； A= 60， B=90 ， E=30； AE=2AB=8 ，CE=2CD=4 ， BE 2=AE 2-AB 2=82-42=48 ， BE=； DE 2= CE 2-CD 2=4 2-22=12 ， DE=； S 四边形 ABCD =SABE -SCDE =AB BE-CD DE=类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题学习必备欢迎下载3、如下列图，在一次夏令营活动中，小明从营地A 点动身，沿北偏东60方向走了到达 B 点，然后再沿北偏西 30方向走了500m 到达目的地C 点；（ 1）求 A 、C 两点之间的距离；（
6、2）确定目的地C 在营地 A 的什么方向；解析 ：（ 1）过 B 点作 BE/AD DAB= ABE=60 30+ CBA+ ABE=180 CBA=90 即 ABC 为直角三角形由已知可得：BC=500m ， AB=由勾股定理可得：所以（ 2）在 Rt ABC 中， BC=500m ，AC=1000m CAB=30 DAB=60 DAC=30 即点 C 在点 A 的北偏东30的方向举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门外形如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门 .【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于
7、CH如下列图，点D 在离厂门中线0.8 米处，且CD ，与地面交于H解： OC 1 米 大门宽度一半， OD 0.8 米 （卡车宽度一半） 在 Rt OCD 中，由勾股定理得：CD .米， C . . .（米） .（米） 因此高度上有0.4 米的余量，所以卡车能通过厂门（二）用勾股定理求最短问题学习必备欢迎下载4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A 、B 、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现方案在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮忙运算一下，哪种架设方案最省电线思路点拨 ：解答此题的思路是：
8、最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理运算线路长，然后进行比较，得出结论解析 ：设正方形的边长为1，就图（ 1）、图（ 2）中的总线路长分别为 AB+BC+CD 3，AB+BC+CD 3图（ 3）中，在RtABC 中同理图（ 3）中的路线长为图（ 4）中，延长EF 交 BC 于 H ，就 FH BC， BH CH由 FBH 及勾股定理得：EA ED FB FC EF 1 2FH 1此图中总线路的长为4EA+EF 3 2.8282.732图（ 4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线举一反三【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高为4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点A 动身，沿着
9、圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程解：学习必备欢迎下载如图，在 Rt 中，底面周长的一半cm， 依据勾股定理得（提问：勾股定理） AC （cm）（勾股定理） 答：最短路程约为cm类型四：利用勾股定理作长为的线段5、作长为、的线段；思路点拨： 由勾股定理得，直角边为1 的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和 1 的直角三角形斜边长就是，类似地可作；作法 ：如下列图（ 1）作直角边为1（单位长）的等腰直角ACB ，使 AB 为斜边；（ 2）以 AB 为一条直角边，作另始终角边为1 的直角；斜边为；（ 3）顺次这样做下去，最终做到直角三角形，这样斜边、的长度就是、；举一反三【变式】在数轴
10、上表示的点；解析： 可以把看作是直角三角形的斜边，为了有利于画图让其他两边的长为整数，而 10 又是 9 和 1 这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3 和 1；作法 ：如下列图在数轴上找到A 点，使 OA=3 ，作 AC OA 且截取 AC=1 ，以 OC 为半径，以 O 为圆心做弧，弧与数轴的交点B 即为；类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出以下原命题的逆命题并判定是否正确1原命题：猫有四只脚（正确）2原命题：对顶角相等（正确）3原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等（正确）4原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等（正确）思路点拨： 把握原命题与逆命题的关系；学习
11、必备欢迎下载解析： 1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（正确）4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上（正确）总结升华： 此题是为了学习勾股定理的逆命题做预备；7、假如 ABC 的三边分别为a、b、c，且满意a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ，判定 ABC 的外形；思路点拨 ：要判定 ABC 的外形，需要找到a、 b、c 的关系，而题目中只有条件a2+b2 +c2+50=6a+8b+10c ，故只有从该条件入手，解决问题；解析 ：由 a2+b 2+c2+50=6a
12、+8b+10c ，得：a2-6a+9+b 2-8b+16+c 2-10c+25=0, a-3 2+b-4 2+c-5 2=0； a-3 2 0, b-4 2 0, c-5 2 0； a=3， b=4， c=5 ； 32+42=52,；222 a +b =c由勾股定理的逆定理，得 ABC 是直角三角形；总结升华 ：勾股定理的逆定理是通过数量关系来讨论图形的位置关系的,在证明中也常要用到；举一反三 【变式 1】四边形ABCD中， B=90 ， AB=3 ， BC=4 ， CD=12 ， AD=13 ，求四边形ABCD 的面积；【答案】：连结 AC B=90 ， AB=3 ， BC=4 AC 2=A
13、B 2+BC 2=25 （勾股定理） AC=5 AC 2+CD 2=169 ，AD 2=169 AC 2+CD 2=AD 2 ACD=90 （勾股定理逆定理） n22【变式 2】已知 : ABC 的三边分别为m,2mn,m22c+n m,n为正整数 ,且 m n,判定 ABC 是否为直角三角形.分析 :此题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明2:a +b2= 2 即可证明：所以 ABC 是直角三角形.【变式 3】如图正方形ABCD ， E 为 BC 中点， F 为 AB 上一点，且BF=AB ；请问 FE 与 DE 是否垂直 .请说明；【答案】答： DE EF；证明：设 BF=a ，就 BE=EC=2a, AF=3a ， AB=4a,学习必备欢迎下载 EF2=BF 2+BE 2=a2+4a2=5a2；DE
