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1、学习必备欢迎下载中学数学二次函数存在性问题总复习试题1 10 北京）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=m1 x245m x m2 3m 2y4与 x 轴的交点分别为原点O 和点 A，点 B2， n在这条抛物线上；(1) 求点 B 的坐标；(2) 点 P 在线段 OA 上，从 O 点动身向点运动，过P 点作 x 轴的垂线，与直线OB 交于点 E；延长 PE 到点 D；使得 ED=PE；以 PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD 当 P 点运动时， C 点、 D 点也随之运动 1x当等腰直角三角形PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时，求O1OP 的长；如 P 点从 O 点动身向A 点作
2、匀速运动，速度为每秒1 个单位，同时线段OA 上另一点 Q 从 A 点动身向O 点作匀速运动， 速度为每秒2 个单位 当 Q 点到达 O 点时停止运动， P 点也同时停止运动；过 Q 点作 x 轴的垂线，与直线AB 交于点 F；延长QF到点 M ，使得 FM =QF，以 QM 为斜边， 在 QM 的左侧作等腰直角三角形QMN 当Q点运动时， M 点， N 点也随之运动；如 P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值；答案： 解：1 拋物线 y=m2=2 ，m1 x245m x m2 3m 2 经过原点， m2 3m 2=0 ，解得 m1=1，4
3、由题意知m 1， m=2， 拋物线的解析式为y=物线1 x245x， 点 B2，n在拋21y=x245x 上， n=4， B 点的坐标为 2， 4；22设直线 OB 的解析式为y=k1x，求得直线OB 的解析式为yDy=2x， A 点是拋物线与x 轴的一个交点，可求得A 点的坐标为 10，0，设 P 点的坐标为 a， 0，就 E 点的坐标为CEa，2a，依据题意作等腰直角三角形PCD ，如图 1；可求B得点 C 的坐标为 3a， 2a，由 C 点在拋物线上，得Ax2a=13a2453a，即29 a2411 a=0，解得 a1=222 ，a2=0OP9图 1舍去 ， OP=22 ；9依题意作等腰
4、直角三角形QMN ，设直线 AB 的解析式为y=k2x b，由点 A10，0，1点 B2，4，求得直线AB 的解析式为y=腰x 5，当 P 点运动到t 秒时，两个等2直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情形：第一种情形： CD 与 NQ 在同一条直线上；如图2 所示；可证 DPQ 为等腰直角三角形； 此时 OP、DP 、AQ 的长可依次表示为t、4t、2t 个单位； PQ=DP =4t，学习必备欢迎下载三 在OP、 t 4t 2t=10， t= 10 ；7其次种情形： PC 与 MN 在同一条直线上；如图 3 所示； 可证 PQM 为等腰直角 角形；此时OP、AQ 的长可依次
5、表示为t、2t 个单位； OQ=102t，F 点直线 AB 上， FQ =t， MQ =2 t， PQ=MQ =CQ=2 t，t 2t 2t =10， t=2；第三种情形：点P、Q 重合时， PD 、QM 在同一条直线上，如图4 所示；此时；综上，符合10AQ 的长可依次表示为t、2t 个单位； t 2t=10 ， t=3题意的t 值分别为10 ， 2，710 ；yD3yDyDM ECE BCMFNAxB EM CFNBFOPQ图 2NOPQAxxOQ P2（ 10 湖北黄冈）已知抛物线yax2bxca图 3图 40 顶点为 C（ 1，1）且过原点O.过抛物线上一点 P（ x ， y）向直线y
6、1）求字母a，b， c 的值；35作垂线，垂足为M ，连 FM （如图） .42）在直线x 1 上有一点F 1, ，求以 PM 为底边的等腰三角形PFM 的 P 点的坐标，并4证明此时 PFM 为正三角形；3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N （ 1， t），使 PM PN 恒成立，如存在恳求出 t 值，如不存在请说明理由.答案：（ 1）a 1， b 2， c 02）过 P 作直线x=1 的垂线，可求P 的纵坐标为MF PF 1，故 MPF 为正三角形 .1，横坐标为4113 .此时， MP 2学习必备欢迎下载53）不存在 .由于当 t4PM 与 PN 不行能相等 .，x 1 时， PM
7、 与 PN 不行能相等，同理，当t5，x 1 时，43（ 10 辽宁丹东）如图，平面直角坐标系中有始终角梯形OMN，H点 H的坐标为（8， 0），点 N的坐标为（6， 4）1 ）画出直角梯形OMNH绕点 O旋转 180的图形OAB，C 并写出顶点A，B，C 的坐标（点M的对应点为A， 点 N 的对应点为B， 点 H的对应点为C）；2 ）求出过A，B， C 三点的抛物线的表达式；3 ）截取 CE=OF=AG=m，且 E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形 BEFG的面积 S与 m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范畴； 面积 S 是否存在最小值.如存在，恳求出这个最小值；如不存在，
8、请说明理由；4）在（ 3）的情形下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情形，如存在，请直接时 m的值，并指出相等的邻边；如不存在，说明理由写出此y答案：（ 1） 利用中心对称性质，画出梯形OABC A， B， C 三点与 M， N，H 分别关于点O中心对称， A（ 0， 4）， B（ 6， 4），C（ 8， 0） 写错一个点的坐标扣1 分）H（-8 ，0）OxyMN（-6 ，-4 ）ADBFH 8OECxMN 6， 42 ）设过 A， B， C 三点的抛物线关系式为yax2bxc ，抛物线过点A（ 0， 4）， c4 就抛物线关系式为yax 2bx4 将 B（ 6， 4）， C（ 8， 0）两点
9、坐标代入关系式，得36a 64a6b44，8b40学习必备欢迎下载a 1 ，解得43b 2所求抛物线关系式为：y1 x23 x4 423 ） OA=4， OC=8， AF=4 m，OE=8 m S四边形 EFGBS梯形ABCO1S AGFS EOF1S BEC11OA（ AB+OC）211AF AG2OE OF21CE OA214 （628）m 4m2m8m4m 222m28m28 0 m 4） S m412 当 m4 时， S 的取最小值又 0 m 4，不存在m值，使 S 的取得最小值4 ）当 m226 时， GB=GF，当 m2 时， BE=BG4已知：函数y=ax2+x+1 的图象与x
10、轴只有一个公共点1）求这个函数关系式；2）如下列图，设二次函数 y=ax2+x+1 图象的顶点为B，与 y 轴的交点为A，P 为图象上的一点，如以线段PB 为直径的圆与直线AB 相切于点 B，求 P 点的坐标；3）在 2 中，如圆与x 轴另一交点关于直线PB 的对称点为M ，摸索究点M 是否在抛物线 y=ax2+x+1 上，如在抛物线上，求出M 点的坐标；如不在，请说明理由答案：解 ：（1）当 a= 0时，y= x+1，图象与x 轴只有一个公共点y当a0 时，=1- 4a=0，a = 1 ，此时，图象与x 轴只有一个公共点4函数的解析式为：y=x+1 或y=14x2+x+12）设 P 为二次函
11、数图象上的一点，过点 P 作 PCx轴于点 C y=ax2+x+1 是二次函数，由（1）知该函数关系式为：A1y=4x2 +x+1，就顶点为B（ -2，0），图象与y 轴的交点BOx坐标为 A（ 0，1）以 PB 为直径的圆与直线AB 相切于点B PB AB就 PBC= BAO RtPCB Rt BOA PCOBBC ，故 PC=2 BC，设 P 点的坐标为 x，y， ABO 是锐角， PBA 是直角，AO学习必备欢迎下载 PBO 是钝角， x-2 BC=-2- x， PC=-4-2 x，即 y=-4-2 x， P 点的坐标为 x， -4-2x点 P 在二次函数y=14x2+x+1 的图象上，
12、-4-2x=14x2 +x+1 解之得： x1=-2， x2 =-10 x-2 x=-10， P 点的坐标为： -10，163 ）点 M 不在抛物线 y=ax2+x+1 上由（ 2）知： C 为圆与 x 轴的另一交点，连接CM ，CM 与直线 PB 的交点为Q，过点 M 作 x 轴的垂线，垂足为D ，取 CD 的中点 E，连接 QE，就 CM PB，且 CQ=MQ QEMD ，QE=12MD ，QE CE CM PB，QE CEPC x 轴 QCE = EQB = CPB tanQCE = tan EQB= tanCPB =12816CE=2QE =2 2BE=4BE，又 CB=8，故 BE=5 ， QE= 5 Q 点的坐标为 -18516
