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1、学习必备欢迎下载中考中与平行四边形有关的动点问题探究例 120XX年福州市中考第21 题如图 1，在 Rt ABC 中， C 90， AC 6， BC 8，动点 P 从点 A 开头沿边 AC 向点 C 以每秒 1 个单位长度的速度运动，动点 Q 从点 C 开头沿边 CB 向点 B 以每秒 2 个单位长度的速度运动，过点 P 作 PD/ BC，交 AB 于点 D ，联结 PQ点 P、Q 分别从点 A、C 同时动身，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为 t 秒（ t 0）（ 1）直接用含t 的代数式分别表示：QB ， PD ；（ 2）是否存在 t 的值，使四边形 PDBQ 为
2、菱形？如存在，求出 t 的值；如不存在，说明理由，并探究如何转变点 Q 的速度（匀速运动） ，使四边形 PDBQ 在某一时刻为菱形，求点 Q 的速度；（ 3）如图 2，在整个运动过程中，求出线段PQ 的中点 M 所经过的路径长思路点拨图 1图 21菱形PDBQ 必需符合两个条件，点P 在 ABC 的平分线上，PQ/AB先求出点P运动的时间t ，再依据PQ/AB，对应线段成比例求CQ 的长，从而求出点Q 的速度2探究点 M 的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点M 的路径满分解答（ 1）QB 8 2t， PD 4 t 3（ 2）如图 3，作 ABC 的平分线交CA 于 P，过点
3、 P 作 PQ/ AB 交BC 于 Q，那么四边形PDBQ 是菱形过点 P 作 PE AB，垂足为 E，那么 BE BC 8在RtABC中，AC6，BC8，所以AB10图 3在 RtAPE 中，cos AAE23 ，所以 t10 APt53610当 PQ/AB 时， CQCP ，即 CQ3CBCA86解得 CQ32 9所以点 Q 的运动速度为321016 9315学习必备欢迎下载（ 3）以 C 为原点建立直角坐标系如图 4，当 t 0 时， PQ 的中点就是 AC 的中点 E3， 0 如图 5，当 t 4 时， PQ 的中点就是 PB 的中点 F 1， 4 直线 EF 的解析式是 y 2x 6
4、如图 6， PQ 的中点 M 的坐标可以表示为（62线 EF 上t ， t）体会证，点M （ 62t ， t）在直所以 PQ 的中点 M 的运动路径长就是线段EF 的长， EF 25 考点舒展图 4图 5图 6第（ 3）题求点M 的运动路径仍有一种通用的方法是设二次函数：当 t 2 时， PQ 的中点为 2， 2设点 M 的运动路径的解析式为y ax2 bxc，代入 E3， 0、F 1， 4和2，2，9a3bc0,得abc4,解得 a 0， b 2， c 64a2bc2.所以点 M 的运动路径的解析式为y 2x 6例 220XX年烟台市中考第26 题如图 1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABC
5、D 的三个顶点B1, 0、C3, 0、D 3, 4 以A 为顶点的抛物线 yax2 bx c 过点 C动点 P 从点 A 动身，沿线段 AB 向点 B 运动，同时动点 Q 从点 C 动身，沿线段 CD 向点 D 运动点 P、Q 的运动速度均为每秒 1 个单位， 运动时间为 t 秒过点 P 作 PE AB 交 AC 于点 E（ 1）直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；（ 2）过点 E 作 EF AD 于 F ，交抛物线于点G，当 t 为何值时，ACG 的面积最大？最大值为多少？（ 3）在动点P、Q 运动的过程中，当t 为何值时，在矩形ABCD 内（包括边界）存在点 H ，使以 C、Q、E
6、、H 为顶点的四边形为菱形？请直接写出t 的值学习必备欢迎下载图 1思路点拨1把 ACG 分割成以GE 为公共底边的两个三角形，高的和等于AD2用含有t 的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来3构造以 C、Q、E、H 为顶点的平行四边形，再用邻边相等列方程验证菱形是否存在满分解答（ 1）A1, 4 由于抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y ax1 2 4，代入点 C3, 0，可得 a 1所以抛物线的解析式为y x 12 4 x2 2x 3（ 2）由于 PE/ BC，所以APAB2 因此 PE1 AP1 t 所以点 E 的横坐标为 1PEBC221 t 2将 x11 t 代入抛物线的
7、解析式，y x1 2 4 421 t 2 4所以点 G 的纵坐标为412t 于是得到 GE1 24t 4t1 t 2t 444因此 SSS1 GE AFDF 1 t 2t1 t2 21ACGAGECGE244所以当 t 1 时， ACG 面积的最大值为1（ 3） t考点舒展20 或 t132085 第（ 3）题的解题思路是这样的：由于 FE /QC，FE QC ，所以四边形FECQ 是平行四边形 再构造点F 关于 PE 轴对称的点 H ，那么四边形EH CQ 也是平行四边形再依据 FQ CQ 列关于 t 的方程，检验四边形FECQ 是否为菱形，依据EQ CQ 列关于 t 的方程，检验四边形EH
8、CQ 是否为菱形E11 t ,42t ， F 11 t, 4 ， Q3,t ， C3,0 2如图 2，当 FQ CQ 时， FQ 2 CQ 2，因此1222 t24tt2整理，得t 240t800 解得 t12085， t22085 （舍去）学习必备欢迎下载如图 3，当 EQ CQ 时， EQ2 CQ 2，因此1222 t242tt2整理，得13t 272t8000 13t20t400 所以 t120 ， t21340 （舍去）图 2图 3例 320XX年上海市中考第24 题已知平面直角坐标系xOy（如图 1），一次函数y3 x3 的图象与y 轴交于点 A，点 M4在正比例函数y3 x 的图象
9、上，且MO MA 二次函数2yx2 bx c 的图象经过点A、M （ 1）求线段AM 的长；（ 2）求这个二次函数的解析式；（ 3）假如点B 在 y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图象上，点D 在一次函数y3 x3的图象上，且4四边形 ABCD 是菱形，求点C 的坐标图 1思路点拨1此题最大的障碍是没有图形，精确画出两条直线是基本要求，抛物线可以不画出来，但是对抛物线的位置要心中有数2依据 MO MA 确定点 M 在 OA 的垂直平分线上，并且求得点M 的坐标，是整个题目成败的一个打算性步骤3第（ 3）题求点C 的坐标，先依据菱形的边长、直线的斜率，用待定字母m 表示点C 的坐
10、标，再代入抛物线的解析式求待定的字母m满分解答（ 1）当 x 0 时， y3 x33，所以点 A 的坐标为 0， 3， OA34学习必备欢迎下载如图 2，由于 MO MA ，所以点 M 在 OA 的垂直平分线上， 点 M 的纵坐标为3 将 y322代入 y3 x ，得 x 1所以点M 的坐标为 1,3 因此 AM13 222c3,（ 2）由于抛物线y x2bx c 经过 A0，3 、M3 ，所以解得5 ，c3所以二次函数的解析式为25yxx3 21,21bc3 .b22（ 3）如图 3，设四边形ABCD 为菱形，过点A 作 AE CD ，垂足为E在 RtADE 中，设 AE 4m， DE 3m
11、，那么 AD 5m因此点 C 的坐标可以表示为4m，3 2m将点 C4m，3 2m代入yx 25 x23，得32m216m10m3 解得 m1 或者 m 0（舍去）2因此点 C 的坐标为（ 2， 2）图 2图 3考点舒展假如第（ 3）题中，把“四边形ABCD 是菱形”改为“以A、B、C、D 为顶点的四边形是菱形”，那么仍存在另一种情形：如图 4，点 C 的坐标为 7 , 27 4 16学习必备欢迎下载图 4例 420XX年江西省中考第24 题将抛物线 c1： y3 x3 沿 x 轴翻折，得到抛物线c2，如图 1 所示2（ 1）请直接写出抛物线c2 的表达式；（ 2）现将抛物线c1 向左平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M ，与 x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2 向右也平移m 个单位长度，平移后得到新抛物 线的顶点为N，与 x 轴的交点从左到右依次为D 、E当 B、D 是线段 AE 的三等分点时，求m 的值；在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M 为顶点的四边形是矩形的情形？如存在，恳求出此时m 的值；如不存在，请说明理由图 1思路点拨1把 A、B、D、E、M 、N 六个点起始位置的坐标排列出来，用m 的式子把这六
